Calcule a integral.
integral cossec^4 x cotg^6 x d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular integral csc^4 x ,cot^6 x ,dx. O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas do tipo csc e cot. Para resolver, vamos usar a identidade csc^2 x = 1 + cot^2 x e a substituição u = cot x.

Passo 2

Separe um fator de csc^2 x,dx para usar na substituição. Observe que
csc^4 x ,cot^6 x,dx = csc^2 x;l(csc^2 x,cot^6 xr),dx
e vamos agrupar csc^2 x,dx para a substituição.

Passo 3

Façamos a substituição u = cot x, logo du = -csc^2 x,dx. Além disso, o fator sobrando csc^2 x pode ser escrito como
csc^2 x = 1 + cot^2 x = 1 + u^2
Assim, a integral vira
integral csc^4 x ,cot^6 x ,dx = -integral u^6,(1 + u^2),du

Passo 4

Expanda o polinômio e integre termo a termo:
-integral u^6,(1 + u^2),du = -integral (u^6 + u^8),du = -l(tfracu^77 + tfracu^99r) + C

Passo 5

Retornando à variável x com u = cot x, obtemos
-cot^7 x7 ;-;cot^9 x9+C

Resposta

-cot^7 x7 ;-;cot^9 x9+C

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