Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral definida de
de
até
. Vamos usar conceitos de cálculo integral e identidades trigonométricas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Existe uma identidade trigonométrica que diz que
. Vamos aplicar essa identidade aqui, mas com
:
Passo 3
Agora, substituímos isso na integral original:
Passo 4
A raiz de
pode ser simplificada. Lembre-se de que
e
. Então:
Passo 5
Observando o intervalo de
de
a
, percebemos que
varia de
a
. No intervalo de
a
, o seno é positivo, então podemos remover o valor absoluto:
Passo 6
Agora, nossa integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral de
. A integral de
é
. Aqui,
, então:
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Passo 9
Sabemos que
e
, então substituindo:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.