Calcule a integral
integral0^pi / 4 raiz1-cos (4 theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral definida de raiz1 - cos(4theta) de 0 até pi4 . Vamos usar conceitos de cálculo integral e identidades trigonométricas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: 1 - cos(4theta) . Existe uma identidade trigonométrica que diz que 1 - cos(2x) = 2sin^2(x) . Vamos aplicar essa identidade aqui, mas com x = 2theta :
1 - cos(4theta) = 2sin^2(2theta)

Passo 3

Agora, substituímos isso na integral original:
integral0^pi / 4 raiz2sin^2(2theta) , dtheta

Passo 4

A raiz de 2sin^2(2theta) pode ser simplificada. Lembre-se de que raiza cdot b = raiza cdot raizb e raizsin^2(x) = |sin(x)| . Então:
raiz2sin^2(2theta) = raiz2 cdot |sin(2theta)|

Passo 5

Observando o intervalo de theta de 0 a pi4 , percebemos que 2theta varia de 0 a pi2 . No intervalo de 0 a pi2 , o seno é positivo, então podemos remover o valor absoluto:
raiz2 cdot |sin(2theta)| = raiz2 cdot sin(2theta)

Passo 6

Agora, nossa integral fica:
raiz2 integral0^pi / 4 sin(2theta) , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral de sin(2theta) . A integral de sin(ktheta) é -1kcos(ktheta) . Aqui, k = 2 , então:
integral sin(2theta) , dtheta = -12 cos(2theta) + C

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
raiz2 [ -12 cos(2theta) ]0^pi / 4 = raiz2 ( -12 cos(pi2) + 12 cos(0) )

Passo 9

Sabemos que cos(pi2) = 0 e cos(0) = 1 , então substituindo:
raiz2 ( -12 cdot 0 + 12 cdot 1 ) = raiz2 cdot 12

Resposta

Portanto, o valor da integral é raiz22 .

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