Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha integralgamma(x+z) d x+(x-y) d y+x d z, onde gamma é a elipse x^24+y^29=1, z=1.
Escolha uma opção:
a. Nenhuma das Respostas
b. 6 pi
c. 2 pi3
d. -3 pi a^42
e. 12

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha integralgamma(x+z) , dx + (x-y) , dy + x , dz usando o Teorema de Stokes. A curva gamma é uma elipse definida por x^24 + y^29 = 1 no plano z = 1 . Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos calcular o rotacional do campo vetorial e a área da superfície limitada por gamma .

Passo 2

Primeiro, identificamos o campo vetorial F = (x+z, , x - y, , x) .

Passo 3

Calculamos o rotacional de F , que é dado por:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, , partial Ppartial z - partial Rpartial x, , partial Qpartial x - partial Ppartial y )
Onde F = (P, Q, R) .

Passo 4

Calculando cada componente do rotacional:
partial Rpartial y = partial xpartial y = 0
partial Qpartial z = partial (x - y)partial z = 0
partial Ppartial z = partial (x + z)partial z = 1
partial Rpartial x = partial xpartial x = 1
partial Qpartial x = partial (x - y)partial x = 1
partial Ppartial y = partial (x + z)partial y = 0
Portanto,
nabla times F = (0 - 0, , 1 - 1, , 1 - 0) = (0, 0, 1)

Passo 5

Segundo o Teorema de Stokes:
ointgamma F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde n é o vetor normal à superfície S . Como a curva gamma está no plano z = 1 , escolhemos n = (0, 0, 1) .

Passo 6

Calculando o produto escalar:
(nabla times F) cdot n = (0, 0, 1) cdot (0, 0, 1) = 1
Portanto, a integral se reduz à área da superfície S :
integral duplaS 1 , dS = Área de S Á

Passo 7

A superfície S é uma elipse no plano z = 1 dada por x^24 + y^29 = 1 . A área de uma elipse é pi a b , onde a e b são os semi-eixos.
Aqui, a = 2 e b = 3 , então:
Área de S = pi times 2 times 3 = 6pi Á

Resposta

A integral de linha é igual a 6pi . Portanto, a opção correta é a b. 6 pi.

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