Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha
, onde
é a elipse
.
Escolha uma opção:
a. Nenhuma das Respostas
b.
c.
d.
e. 12
Escolha uma opção:
a. Nenhuma das Respostas
b.
c.
d.
e. 12
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha
usando o Teorema de Stokes. A curva
é uma elipse definida por
no plano
. Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos calcular o rotacional do campo vetorial e a área da superfície limitada por
.
Passo 2
Primeiro, identificamos o campo vetorial
.
Passo 3
Calculamos o rotacional de
, que é dado por:
Onde
.
Passo 4
Calculando cada componente do rotacional:
Portanto,
Passo 5
Segundo o Teorema de Stokes:
Onde
é o vetor normal à superfície
. Como a curva
está no plano
, escolhemos
.
Passo 6
Calculando o produto escalar:
Portanto, a integral se reduz à área da superfície
:
Passo 7
A superfície
é uma elipse no plano
dada por
. A área de uma elipse é
, onde
e
são os semi-eixos.
Aqui,
e
, então:
Resposta
A integral de linha é igual a
. Portanto, a opção correta é a b.
.