Use o teorema da divergência para calcular a integral integralegral duplaS F d S, onde F(x, y, z)=(x^3, y^3, z^3) e S é a superfície do sólido limitado pelo cone x^2+y^2-z^2=0 e pelo plano z=1.
Escolha uma opção:
a. 12 pi a^55
b. 36
c. Nenhuma das Respostas
d. 6 pi a^2
e. 9 pi10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema da Divergência, que basicamente transforma uma integral de superfície em uma integral de volume. O problema nos pede para calcular a integral de superfície da função vetorial F(x, y, z) = (x^3, y^3, z^3) sobre a superfície S, que é limitada pelo cone x^2+y^2=z^2 e pelo plano z=1. Vamos precisar entender como aplicar o teorema e trabalhar com coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que a integral de superfície de um campo vetorial F sobre uma superfície fechada S é igual à integral de volume do divergente de F dentro do volume V limitado por S. Ou seja:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV

Passo 3

Vamos calcular o divergente de F. O divergente de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dado por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Para F = (x^3, y^3, z^3), temos:
nabla cdot F = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral de volume. Como a região é limitada por um cone e um plano, as coordenadas cilíndricas são ideais. Em coordenadas cilíndricas, temos:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • z = z
  • O elemento de volume é dV = r , dr , dtheta , dz
O cone x^2+y^2=z^2 em coordenadas cilíndricas fica r = z. E o plano é z=1. Então, os limites de integração são:
  • z vai de 0 a 1
  • Para cada z, r vai de 0 a z
  • theta vai de 0 a 2pi

Passo 5

Vamos montar a integral:
integral triplaV (3x^2 + 3y^2 + 3z^2) , dV = 3 integral triplaV (x^2 + y^2 + z^2) , dV
Convertendo para coordenadas cilíndricas:
= 3 integral0^2pi integral0^1 integral0^z (r^2 + z^2) cdot r , dr , dz , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em partes. Primeiro, o que está dentro:
integral0^z (r^2 + z^2) cdot r , dr = integral0^z (r^3 + z^2 r) , dr
Integrando em relação a r:
= [ r^44 + z^2 r^22 ]0^z = z^44 + z^42 = 3z^44

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral:
3 integral0^2pi integral0^1 3z^44 , dz , dtheta = 94 integral0^2pi integral0^1 z^4 , dz , dtheta
Integrando em relação a z:
integral0^1 z^4 , dz = [ z^55 ]0^1 = 15
Então:
94 integral0^2pi cdot 15 , dtheta = 920 integral0^2pi , dtheta = 920 cdot 2pi = 9pi10

Resposta

A integral integral duplaS F , dS vale 9pi10. Então, a resposta correta é a opção e. 9 pi10.

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