Use o teorema da divergência para calcular a integral
, onde
e
é a superfície do sólido limitado pelo cone
e pelo plano
.
Escolha uma opção:
a.
b. 36
c. Nenhuma das Respostas
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b. 36
c. Nenhuma das Respostas
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema da Divergência, que basicamente transforma uma integral de superfície em uma integral de volume. O problema nos pede para calcular a integral de superfície da função vetorial
sobre a superfície
, que é limitada pelo cone
e pelo plano
. Vamos precisar entender como aplicar o teorema e trabalhar com coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que a integral de superfície de um campo vetorial
sobre uma superfície fechada
é igual à integral de volume do divergente de
dentro do volume
limitado por
. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular o divergente de
. O divergente de um campo vetorial
é dado por:
Para
, temos:
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral de volume. Como a região é limitada por um cone e um plano, as coordenadas cilíndricas são ideais. Em coordenadas cilíndricas, temos:
-
-
-
- O elemento de volume é
O cone
em coordenadas cilíndricas fica
. E o plano é
. Então, os limites de integração são:
-
vai de a - Para cada
, vai de a -
vai de a
Passo 5
Vamos montar a integral:
Convertendo para coordenadas cilíndricas:
Passo 6
Vamos integrar em partes. Primeiro, o que está dentro:
Integrando em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral:
Integrando em relação a
:
Então:
Resposta
A integral
vale
. Então, a resposta correta é a opção e.
.