Calcule a integral.
integral sen^3(raizx)raizx d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva da função
sin^3l(raizxr)raizx.
O conteúdo principal aqui é usar substituição para tratar a raiz e depois aplicar identidades trigonométricas para sin^3.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = raizx.
Logo x = u^2, raizx=u e
dx = 2u,du
A integral original vira
integral sin^3(raizx)raizx,dx = integral sin^3(u)ucdot 2u,du = 2integral sin^3(u),du

Passo 3

Para integrar sin^3(u), usamos a identidade
sin^3(u) = sin(u)l(1 - cos^2(u)r)
então
2integral sin^3(u),du = 2integral sin(u)l(1 - cos^2(u)r),du

Passo 4

Fazemos agora a troca v = cos(u), com dv = -sin(u),du, isto é sin(u),du = -dv. Assim
2integral sin(u)l(1 - cos^2(u)r),du = 2integral (1 - v^2)(-dv) = -2integral (1 - v^2),dv

Passo 5

Integramos o polinômio em v:
-2integral (1 - v^2),dv = -2l(v - tfracv^33r) + C = -2v + tfrac23v^3 + C

Passo 6

Retornando às variáveis originais: v=cos(u) e u=raizx, obtemos
F(x) = -2cosl(raizxr) + tfrac23cos^3l(raizxr)

Resposta

-2cosl(raizxr) + tfrac23cos^3l(raizxr) + C

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