integral d x2 x^2+5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral dx2x^2+5
O conteúdo que vamos usar é o método de fatoração para encaixar em uma forma de integral du1+u^2=arctan(u)+C.

Passo 2

Fatoramos a constante do denominador para deixar a parte quadrática isolada em um formato padrão. Note que \r
;2x^2+5 = 5l(1 + 25x^2r) \r
Então a integral vira \r
integral dx2x^2+5 = integral dx5l(1 + tfrac25x^2r) = 15integral dx1 + tfrac25x^2

Passo 3

Para usar integraldu1+u^2, fazemos a substituição \r
;u = raiztfrac25;x, \r
de modo que \r
;du = raiztfrac25;dx Longrightarrow dx = raiztfrac52;du \r
Reescrevendo a integral em termos de u: \r

Passo 4

Sabendo que
integral du1+u^2 = arctan(u) + C,
temos
15raiztfrac52integral du1+u^2 = 15raiztfrac52;arctan(u) + C

Passo 5

Voltando à variável x usando u = raiztfrac25,x e simplificando o fator fora da função arctan: \r
\r
logo a resposta final é \r
1raiz10;arctan!l(raiztfrac25,xr) + C

Resposta

integral dx2x^2+5 = 1raiz10;arctan!l(raiztfrac25,xr) + C

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