Em um campo elétrico descrito por E=(-x,-y), encontre o potencial elétrico V(x, y) tal que E=-nabla V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um campo elétrico E = (-x, -y) e pede para achar o potencial elétrico V(x, y) tal que E = -nabla V. Isso significa que precisamos descobrir uma função V cuja derivada (o gradiente) dê exatamente o campo elétrico que temos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo vetorial e integrações básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa nabla V. O gradiente de V, representado por nabla V, é um vetor que contém as derivadas parciais de V em relação a x e y. Ou seja:
nabla V = ( partial Vpartial x, partial Vpartial y )
Como E = -nabla V, podemos escrever:
E = (-x, -y) = -( partial Vpartial x, partial Vpartial y )
Isso nos leva a duas equações:
partial Vpartial x = x e partial Vpartial y = y

Passo 3

Agora, precisamos encontrar V(x, y) que satisfaça essas duas equações. Vamos começar integrando a primeira equação em relação a x:
partial Vpartial x = x implies V = integral x , dx = 12x^2 + f(y)
Aqui, f(y) é uma função qualquer que depende apenas de y, pois quando integramos em relação a x, a constante de integração pode ser uma função de y.

Passo 4

Agora, usamos a segunda equação para determinar f(y). Sabemos que:
partial Vpartial y = y
Substituindo V que encontramos:
partialpartial y ( 12x^2 + f(y) ) = y implies f'(y) = y
Integrando isso em relação a y:
f(y) = integral y , dy = 12y^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, juntamos tudo para escrever a expressão completa de V(x, y):
V(x, y) = 12x^2 + 12y^2 + C
Geralmente, a constante C pode ser definida como zero, já que estamos interessados apenas na forma geral do potencial elétrico.

Resposta

V(x, y) = x^2 + y^22

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