Em um campo elétrico descrito por
, encontre o potencial elétrico
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um campo elétrico
e pede para achar o potencial elétrico
tal que
. Isso significa que precisamos descobrir uma função
cuja derivada (o gradiente) dê exatamente o campo elétrico que temos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo vetorial e integrações básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. O gradiente de
, representado por
, é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja:
Como
, podemos escrever:
Isso nos leva a duas equações:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
que satisfaça essas duas equações. Vamos começar integrando a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função qualquer que depende apenas de
, pois quando integramos em relação a
, a constante de integração pode ser uma função de
.
Passo 4
Agora, usamos a segunda equação para determinar
. Sabemos que:
Substituindo
que encontramos:
Integrando isso em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, juntamos tudo para escrever a expressão completa de
:
Geralmente, a constante
pode ser definida como zero, já que estamos interessados apenas na forma geral do potencial elétrico.