Derive a funções abaixo.
y=ln (x+raizx^2-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função y = ln(x + raizx^2 - 1) e precisamos encontrar a derivada dela em relação a x . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente regras de derivação como a regra da cadeia e a derivada de logaritmos e funções radicais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de ln(u) em relação a x é u'u , onde u é uma função de x . No nosso caso, u = x + raizx^2 - 1 . Então, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x .

Passo 3

Vamos derivar u = x + raizx^2 - 1 . A derivada de x em relação a x é 1. Agora, para a parte da raiz, raizx^2 - 1 , vamos usar a regra da cadeia. A derivada de raizv é v'2raizv , onde v = x^2 - 1 .

Passo 4

Derivando v = x^2 - 1 , temos v' = 2x . Então, a derivada de raizx^2 - 1 é:
2x2raizx^2 - 1 = xraizx^2 - 1

Passo 5

Agora, juntando tudo, a derivada de u é:
u' = 1 + xraizx^2 - 1

Passo 6

Voltando à derivada de y = ln(u) , temos:
dydx = u'u = 1 + xraizx^2 - 1x + raizx^2 - 1

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão. Para facilitar, vamos multiplicar o numerador e o denominador por raizx^2 - 1 para eliminar a fração no numerador:
(1)(raizx^2 - 1) + x(x + raizx^2 - 1)raizx^2 - 1 = raizx^2 - 1 + x(x + raizx^2 - 1)raizx^2 - 1

Passo 8

Observamos que raizx^2 - 1 + x é o mesmo que x + raizx^2 - 1 , que aparece no denominador. Então, cancelamos esses termos:
x + raizx^2 - 1(x + raizx^2 - 1)raizx^2 - 1 = 1raizx^2 - 1

Resposta

A derivada da função é:
dydx = 1raizx^2 - 1

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