Derive a funções abaixo.
y=e^x tan x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para derivar a função y = e^x tan x . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do produto. Vamos precisar entender como aplicar essas regras para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que precisamos derivar: y = e^x tan x . Aqui, temos uma função exponencial onde o expoente é x tan x . Para derivar essa função, vamos usar a Regra da Cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função.

Passo 3

A Regra da Cadeia nos diz que, se temos uma função y = e^u , onde u é uma função de x , então a derivada de y em relação a x é:
dydx = e^u cdot dudx
No nosso caso, u = x tan x , então precisamos primeiro encontrar dudx .

Passo 4

Agora, vamos derivar u = x tan x . Aqui, temos o produto de duas funções: x e tan x . Para derivar o produto de duas funções, usamos a Regra do Produto, que diz:
ddx [f(x) cdot g(x)] = f'(x) cdot g(x) + f(x) cdot g'(x)
Onde:
  • f(x) = x e f'(x) = 1
  • g(x) = tan x e g'(x) = sec^2 x (porque a derivada de tan x é sec^2 x )

Passo 5

Aplicando a Regra do Produto:
dudx = ddx (x) cdot tan x + x cdot ddx (tan x) = 1 cdot tan x + x cdot sec^2 x
Simplificando:
dudx = tan x + x sec^2 x

Passo 6

Agora que temos dudx , podemos voltar à derivada original dydx usando a Regra da Cadeia:
dydx = e^u cdot dudx
Substituindo u = x tan x e dudx = tan x + x sec^2 x :
dydx = e^x tan x cdot (tan x + x sec^2 x)

Resposta

A derivada da função y = e^x tan x é:
dydx = e^x tan x cdot (tan x + x sec^2 x)

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