Calcule a integral: integral x^2+2 x+1(x-1)^2 d x

Passo 1

Temos a integral de uma função racional
integral x^2+2x+1(x-1)^2,dx
O conteúdo aqui é integração de frações racionais. Vamos simplificar o integrando por divisão polinomial para obter soma de termos mais simples (polinômio e frações de primeiro grau), que conhecemos as primitivas.

Passo 2

Fazemos a divisão do numerador pelo denominador: escrevemos
x^2+2x+1 = (x-1)^2 + R(x),
onde calculamos o resíduo R(x). Note que
(x-1)^2 = x^2 - 2x +1,
então
R(x) = l(x^2+2x+1r) - l(x^2-2x+1r) = 4x
Agora escrevemos 4x em função de (x-1):
4x = 4l((x-1)+1r) = 4(x-1) + 4
Logo,
x^2+2x+1 = (x-1)^2 + 4(x-1) + 4

Passo 3

Substituindo na fração original, obtemos
x^2+2x+1(x-1)^2 = (x-1)^2 + 4(x-1) + 4(x-1)^2 = 1 + 4(x-1)(x-1)^2 + 4(x-1)^2 = 1 + 4x-1 + 4(x-1)^2
Assim a integral se separa em três termos conhecidos.

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral 1,dx = x, integral 4x-1,dx = 4lnlvert x-1rvert, integral 4(x-1)^2,dx = 4integral (x-1)^-2dx = 4cdotl(-(x-1)^-1r) = -4x-1
Somando tudo e adicionando a constante de integração C, temos a antiderivada completa.

Resposta

boxedx + 4lnlvert x-1rvert - 4x-1 + C

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