Encontre a derivada da função G(x)=integraltg x^pi cos (t^2+5) d t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos a derivada da função G(x) = integraltan x^pi cos (t^2+5) dt . Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas, especificamente utilizando a regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, identificamos a forma da função G(x) . Ela é definida como uma integral definida onde o limite inferior é uma função de x , tan x , e o limite superior é uma constante, pi .

Passo 3

Para encontrar a derivada de G(x) , usamos a Regra de Leibniz, que nos diz que se F(x) = integrala(x)^b(x) f(t) dt , então:
F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
No nosso caso, a(x) = tan x e b(x) = pi .

Passo 4

Calculamos as derivadas dos limites:
b'(x) = ddx pi = 0
a'(x) = ddx tan x = sec^2 x

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de Leibniz:
G'(x) = cos( pi^2 + 5 ) cdot 0 - cos( (tan x)^2 + 5 ) cdot sec^2 x
Simplificando:
G'(x) = - cos( tan^2 x + 5 ) cdot sec^2 x

Resposta

A derivada da função G(x) é:
G'(x) = - cos( tan^2 x + 5 ) cdot sec^2 x

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