Calcule a integral:
integral0^1 integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 1(x^2+y^2)^1 / 2 d y d x d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral0^1integral-1^1integral-raiz1-x^2^raiz1-x^21raizx^2+y^2,dy,dx,dz
O domínio de integração é o cilindro definido por
(x,y,z)mid x^2+y^2<=1, 0<= z<=1,
e o integrando é f(x,y,z)=1raizx^2+y^2. Vamos usar separação de variáveis e coordenadas polares para resolver.

Passo 2

Note que f não depende de z. Então
integral0^1f(x,y,z),dz =f(x,y)integral0^1dz =f(x,y)
Isso reduz a integral tripla a uma integral dupla sobre o disco unitário em xy:
integral-1^1integral-raiz1-x^2^raiz1-x^21raizx^2+y^2,dy,dx

Passo 3

Para computar essa integral dupla, fazemos a mudança para coordenadas polares
x=rcostheta, y=rsintheta, dA = r,dr,dtheta
Nesse caso raizx^2+y^2=r, logo o integrando fica
tfrac1r e o jacobiano multiplica por r, resultando em 1. O domínio em polares é
0<= r<=1, 0<=theta<=2pi

Passo 4

A integral em coordenadas polares torna-se
integral0^2piintegral0^11,dr,dtheta =integral0^2pil[rr]0^1,dtheta =integral0^2pi1,dtheta =2pi
Portanto, a integral original vale 2pi.

Resposta

2pi

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