Calcule a integral:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral impropria de uma função racional. O conteúdo central é decomposição em frações parciais e depois integração de cada parcela separadamente.

Passo 2

Para aplicar frações parciais, escrevemos
x+4x,(x^2+4)=Ax+B,x+Cx^2+4Multiplicando ambos os lados por x(x^2+4) obtemos
x+4=A(x^2+4)+(B,x+C)x=(A+B)x^2+ Cx+4AIgualando coeficientes de potências de x:
- Coeficiente de x^2: A+B=0.
- Coeficiente de x^1: C=1.
- Termo constante: 4A=4 A=1.
Com isso, B=-A=-1 e C=1.

Passo 3

Substituindo de volta,
x+4x(x^2+4)=1x+-x+1x^2+4Assim a integral se separa:
integralx+4x(x^2+4),dx=integral1x,dx+integral-xx^2+4,dx+integral1x^2+4,dx

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
  • integral1x,dx=ln|x|.
  • Para integral-xx^2+4,dx, usamos u=x^2+4, du=2x,dx x,dx=du/2. Então integral-xx^2+4,dx=-12integralduu=-12ln(x^2+4)
    - integral1x^2+4,dx=12arctanl(tfracx2r) pois integral1x^2+a^2dx=1aarctan(x/a).

Passo 5

Somando tudo e adicionando a constante de integração C, chegamos ao resultado final.

Resposta

ln|x|-tfrac12ln(x^2+4)+tfrac12arctanl(tfracx2r)+C

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