Consideremos um reservatório contendo V litros de água pura que começa a receber, a uma vazão constante de a litros por segundo, uma solução salina com concentração de c k g de sal por litro de solução. O reservatório disponha de um mecanismo que mantém a solução homogênea à medida que o reservatório enche. Suponhamos que, concomitantemente com a injeção de água salgada no reservatório, começa a ser retirada do reservatório a solução formada, à razão constante de a litros por segundo.
(a) Denotando por x(t) a quantidade de sal, em k g, presente no reservatório em um instante t, mostre que x satisfaz a equação diferencial
d xd t=a c-a xV
(b) Determine a solução geral do problema acima.
© Verifique o que acontece com a concentração de sal no reservatório quando t infty.

Passo 1

O enunciado descreve um problema de mistura em reservatório: inicialmente há V litros de água pura (logo x(0)=0), entra solução salina a vazão a [L/s] e concentração c [kg/L], e sai solução homogênea à mesma vazão. O conteúdo usado será balanço de massa e equação diferencial linear de 1ª ordem.

Passo 2

Para montar a ODE, calculamos a taxa de entrada de sal como a·c [kg/s] e a taxa de saída como a·(x/V) [kg/s], pois sai a litros/s com concentração x(t)/V. Assim o balanço é dx/dt = taxa entrada − taxa saída, ou seja
dxdt=a c-aVx

Passo 3

Reconhecemos que dxdt+aVx=a c é uma ODE linear de 1ª ordem. Tomamos o fator integrante
mu(t)=expl(integralaVdtr)=e^tfracaVt

Passo 4

Multiplicando a ODE por μ(t) obtemos
ddtl(x e^tfracaVtr)=a c,e^tfracaVt

Passo 5

Integrando em t:
x e^tfracaVt=integral a c,e^tfracaVtdt=V c,e^tfracaVt+K

Passo 6

Logo a solução geral da ODE é
x(t)=V c+K,e^-tfracaVt

Passo 7

Como x(0)=0 (água pura), temos 0=Vc+K ⇒ K=−Vc. Substituindo, a solução particular fica
x(t)=V cl(1-e^-tfracaVtr)

Passo 8

Para t→∞ nota-se que e^{−(a/V)t}→0, logo x(t)→Vc. A concentração é x(t)/V, e portanto tende a c.

Resposta

A equação diferencial é dxdt=a c-aVx. A solução geral é x(t)=V c+K e^-tfracaVt e, impondo x(0)=0, obtemos x(t)=V cl(1-e^-tfracaVtr). Quando t→∞, a concentração x(t)/V tende a c.

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