Consideremos um reservatório contendo
litros de água pura que começa a receber, a uma vazão constante de
litros por segundo, uma solução salina com concentração de
de sal por litro de solução. O reservatório disponha de um mecanismo que mantém a solução homogênea à medida que o reservatório enche. Suponhamos que, concomitantemente com a injeção de água salgada no reservatório, começa a ser retirada do reservatório a solução formada, à razão constante de
litros por segundo.
(a) Denotando por
a quantidade de sal, em
, presente no reservatório em um instante
, mostre que
satisfaz a equação diferencial
(b) Determine a solução geral do problema acima.
© Verifique o que acontece com a concentração de sal no reservatório quando
.
(a) Denotando por
© Verifique o que acontece com a concentração de sal no reservatório quando
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura em reservatório: inicialmente há V litros de água pura (logo x(0)=0), entra solução salina a vazão a [L/s] e concentração c [kg/L], e sai solução homogênea à mesma vazão. O conteúdo usado será balanço de massa e equação diferencial linear de 1ª ordem.
Passo 2
Para montar a ODE, calculamos a taxa de entrada de sal como a·c [kg/s] e a taxa de saída como a·(x/V) [kg/s], pois sai a litros/s com concentração x(t)/V. Assim o balanço é dx/dt = taxa entrada − taxa saída, ou seja
Passo 3
Reconhecemos que
é uma ODE linear de 1ª ordem. Tomamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicando a ODE por μ(t) obtemos
Passo 5
Integrando em t:
Passo 6
Logo a solução geral da ODE é
Passo 7
Como x(0)=0 (água pura), temos 0=Vc+K ⇒ K=−Vc. Substituindo, a solução particular fica
Passo 8
Para t→∞ nota-se que e^{−(a/V)t}→0, logo x(t)→Vc. A concentração é x(t)/V, e portanto tende a c.
Resposta
A equação diferencial é
. A solução geral é
e, impondo x(0)=0, obtemos
. Quando t→∞, a concentração x(t)/V tende a c.