Calcule a integral:

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x^2-4x-4x^3-2x^2+4x-8,dx. O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais: vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a função racional para integrar.

Passo 2

Fatoramos o denominador x^3-2x^2+4x-8 por agrupamento:
x^3-2x^2+4x-8 = x^2(x-2)+4(x-2) = (x^2+4)(x-2)

Passo 3

Escrevemos a fração como
x^2-4x-4(x-2)(x^2+4) = Ax-2+Bx+Cx^2+4

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x^2+4) e igualando coeficientes em x^2,x, e constante, obtemos o sistema:
A+B = 1, -2B+C = -4, 4A - 2C = -4

Passo 5

Resolvendo, encontramos A=-1, B=2 e C=0. Logo
x^2-4x-4(x-2)(x^2+4) = -1x-2 + 2xx^2+4

Passo 6

Agora a integral se separa em duas:
integral -1x-2,dx + integral 2xx^2+4,dx

Passo 7

Para a primeira parte temos integral -1x-2,dx = -ln|x-2|.
Para a segunda parte fazemos u = x^2+4, du = 2x,dx, então
integral 2xx^2+4,dx = integral 1u,du = ln(u) = ln(x^2+4)

Passo 8

Somando as duas contribuições, obtemos
ln(x^2+4) - ln|x-2| + C

Resposta

lnl(tfracx^2+4|x-2|r) + C

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