Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C}\left(\frac{\cosh z}{(z-\pi){3}}-\frac{\operatorname{sen}{2} z}{(2 z-\pi)^{3}}\right) d z ;|z|=3

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointCl(cosh z(z-pi)^3-sin^2 z(2z-pi)^3r)dz onde C é o círculo |z|=3. O conteúdo envolve integrais de contorno e, em particular, o Teorema de Cauchy para derivadas (Teorema 5.5.2) e o cálculo de resíduos (Teorema 5.5.1).

Passo 2

Precisamos identificar as singularidades do integrando: estão em z=pi (polo de ordem 3) e em 2z-pi=0, ou seja z=pi/2 (outro polo de ordem 3). Como |pi|approx3,14>3, z=pi fica fora de C. Já |pi/2|approx1,57<3, então só z=pi/2 contribui para o valor da integral.

Passo 3

Para usar o Teorema de Cauchy para derivadas, escrevemos o segundo termo como função g(z) sobre (z-pi/2)^3. Note que 2z-pi=2(z-pi/2), então
sin^2 z(2z-pi)^3=sin^2 z8,(z-pi/2)^3,

Passo 4

Como o integrando é -1 vezes isso, definimos g(z)=-tfrac18sin^2 z. Pelo Teorema de Cauchy para derivadas, o resíduo de g(z)/(z-pi/2)^3 em z=pi/2 é
Res=g''(pi/2)2!,,
e portanto a integral vale
ointC f(z),dz=2pi i;g''(pi/2)2=pi i,g''(pi/2),

Passo 5

Agora calculamos g''(z). Como g(z)=-tfrac18sin^2 z, temos

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