Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C}\left(\frac{\cosh z}{(z-\pi){3}}-\frac{\operatorname{sen}{2} z}{(2 z-\pi)^{3}}\right) d z ;|z|=3
\oint_{C}\left(\frac{\cosh z}{(z-\pi){3}}-\frac{\operatorname{sen}{2} z}{(2 z-\pi)^{3}}\right) d z ;|z|=3
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o círculo
. O conteúdo envolve integrais de contorno e, em particular, o Teorema de Cauchy para derivadas (Teorema 5.5.2) e o cálculo de resíduos (Teorema 5.5.1).
Passo 2
Precisamos identificar as singularidades do integrando: estão em
(polo de ordem 3) e em
, ou seja
(outro polo de ordem 3). Como
,
fica fora de
. Já
, então só
contribui para o valor da integral.
Passo 3
Para usar o Teorema de Cauchy para derivadas, escrevemos o segundo termo como função
sobre
. Note que
, então
Passo 4
Como o integrando é
vezes isso, definimos
. Pelo Teorema de Cauchy para derivadas, o resíduo de
em
é
e portanto a integral vale
Passo 5
Agora calculamos
. Como
, temos