Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C}\left(\frac{e^{2 i z}}{z{4}}-\frac{z{4}}{(z-i)^{3}}\right) d z ;|z|=6
\oint_{C}\left(\frac{e^{2 i z}}{z{4}}-\frac{z{4}}{(z-i)^{3}}\right) d z ;|z|=6
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde o contorno
é o círculo
. O conteúdo envolve fórmula integral de Cauchy para derivadas (Teorema 5.5.2) ou cálculo de resíduos (Teorema 5.5.1):
Passo 2
Separamos a integral em duas partes:
Passo 3
Para
, aplicamos a fórmula com
,
e
(logo
). Precisamos de
Então
$$I_1=\frac{2\pi i}{3!}f^{(3)}(0)=\frac{2\pi i}{6}(-8i)=\frac{\pi i}{3}(-8i)=\frac{8\pi}{3}.
$$
Passo 4
Para
, usamos
,
e
(logo
). Calculamos
Logo
$$I_2=\frac{2\pi i}{2!}f’’(i)=\pi i(-12)=-12\pi i.
$$
Passo 5
A integral original é
$$I=I_1-I_2=\frac{8\pi}{3}-(-12\pi i)=\frac{8\pi}{3}+12\pi i.
$$