Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C}\left(\frac{e^{2 i z}}{z{4}}-\frac{z{4}}{(z-i)^{3}}\right) d z ;|z|=6

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno ointCl(e^2izz^4-z^4(z-i)^3r)dzonde o contorno C é o círculo |z|=6. O conteúdo envolve fórmula integral de Cauchy para derivadas (Teorema 5.5.2) ou cálculo de resíduos (Teorema 5.5.1):
oint|z-a|=Rf(z)(z-a)^n+1dz=2pi in!f^(n)(a)

Passo 2

Separamos a integral em duas partes:
I1=ointCe^2izz^4dz, I2=ointCz^4(z-i)^3dz

Passo 3

Para I1, aplicamos a fórmula com f(z)=e^2iz, a=0 e n+1=4 (logo n=3). Precisamos de
f'(z)=2i e^2iz, f''(z)=(2i)^2e^2iz=-4e^2iz, f'''(z)=(2i)^3e^2iz=-8i e^2iz
Então
$$I_1=\frac{2\pi i}{3!}f^{(3)}(0)=\frac{2\pi i}{6}(-8i)=\frac{\pi i}{3}(-8i)=\frac{8\pi}{3}.
$$

Passo 4

Para I2, usamos f(z)=z^4, a=i e n+1=3 (logo n=2). Calculamos
f'(z)=4z^3, f''(z)=12z^2, f''(i)=12(i)^2=-12
Logo
$$I_2=\frac{2\pi i}{2!}f’’(i)=\pi i(-12)=-12\pi i.
$$

Passo 5

A integral original é
$$I=I_1-I_2=\frac{8\pi}{3}-(-12\pi i)=\frac{8\pi}{3}+12\pi i.
$$

Resposta

8pi3+12pi i

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