Calcule a integral:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral t^2+t+1(2t+1),(t^2+1),dt. O conteúdo principal é a integração de função racional, e vamos precisar de decomposição em frações parciais e de integrais padrão como integral!dtat+b e integral!t,dtt^2+1.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais assumindo t^2+t+1(2t+1)(t^2+1) = A2t+1 + Bt+Ct^2+1. Multiplicamos ambos os lados por (2t+1)(t^2+1) e igualamos polinômios: t^2+t+1 = A(t^2+1) + (Bt+C)(2t+1). Comparando coeficientes, obtemos o sistema A + 2B = 1, B + 2C = 1 e A + C = 1.

Passo 3

Resolvendo esse sistema encontramos A = tfrac35, B = tfrac15 e C = tfrac25. Substituímos na integral e separamos em partes: integral t^2+t+1(2t+1)(t^2+1),dt = 35integral dt2t+1 + 15integral t+2t^2+1,dt

Passo 4

Usamos que integral dt2t+1 = tfrac12lnlvert2t+1rvert, integral t,dtt^2+1 = tfrac12ln(t^2+1) e integral dtt^2+1 = arctan t. Aplicando essas fórmulas e simplificando chegamos a:
310lnlvert2t+1rvert + 110ln(t^2+1) + 25arctan t + C

Resposta

310lnlvert2t+1rvert + 110ln(t^2+1) + 25arctan t + C

Exercícios relacionados