Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{1}{z{3}(z-1){2}} d z ;|z-2|=5
\oint_{C} \frac{1}{z{3}(z-1){2}} d z ;|z-2|=5
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
em que
é o círculo
. O conteúdo é cálculo de integrais complexas usando o Teorema de Cauchy para derivadas (Teorema 5.5.1) e o Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.2). Vamos precisar identificar os polos dentro de
e calcular suas contribuições.
Passo 2
Primeiro, note que os pontos singulares da integranda são
(polo de ordem 3) e
(polo de ordem 2). Como o círculo
contém ambos (porque
e
), podemos aplicar o Teorema dos Resíduos:
Segundo, pelo Teorema dos Resíduos,
Segundo, pelo Teorema dos Resíduos,
Passo 3
Terceiro, calculemos o resíduo em
, que é um polo de ordem 2. Usamos
[\displaystyle\operatorname{Res}\Bigl(\frac{1}{z{3}(z-1){2}},1\Bigr) = \lim_{z\to1} \frac{d}{dz}\Bigl[(z-1){2}\frac{1}{z{3}(z-1)^{2}}\Bigr] = \lim_{z\to1} \frac{d}{dz}\Bigl(\frac{1}{z^{3}}\Bigr) = -\frac{3}{z^{4}}\Big|_{z=1} = -3.
Passo 4
Quarto, calculemos o resíduo em
, polo de ordem 3. Aplicamos a fórmula de ordem 3:
[\displaystyle\operatorname{Res}\Bigl(\cdots,0\Bigr)=\frac{1}{2}\cdot\frac{6}{(-1)^{4}}=3.
Passo 5
Quinto, somamos os resíduos e aplicamos a fórmula:
Portanto, a integral vale zero.
Resposta
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