Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{1}{z{3}(z-1){2}} d z ;|z-2|=5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno ointC 1z^3(z-1)^2,dz em que C é o círculo |z-2|=5. O conteúdo é cálculo de integrais complexas usando o Teorema de Cauchy para derivadas (Teorema 5.5.1) e o Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.2). Vamos precisar identificar os polos dentro de C e calcular suas contribuições.

Passo 2

Primeiro, note que os pontos singulares da integranda são z=0 (polo de ordem 3) e z=1 (polo de ordem 2). Como o círculo |z-2|=5 contém ambos (porque |0-2|=2<5 e |1-2|=1<5), podemos aplicar o Teorema dos Resíduos:
Segundo, pelo Teorema dos Resíduos,
ointC 1z^3(z-1)^2,dz = 2pi isumpolosResl(1z^3(z-1)^2,,zr)

Passo 3

Terceiro, calculemos o resíduo em z=1, que é um polo de ordem 2. Usamos
[\displaystyle\operatorname{Res}\Bigl(\frac{1}{z{3}(z-1){2}},1\Bigr) = \lim_{z\to1} \frac{d}{dz}\Bigl[(z-1){2}\frac{1}{z{3}(z-1)^{2}}\Bigr] = \lim_{z\to1} \frac{d}{dz}\Bigl(\frac{1}{z^{3}}\Bigr) = -\frac{3}{z^{4}}\Big|_{z=1} = -3.

Passo 4

Quarto, calculemos o resíduo em z=0, polo de ordem 3. Aplicamos a fórmula de ordem 3:
Resl(1z^3(z-1)^2,0r) = 12!limzto0 d^2dz^2l[z^31z^3(z-1)^2r] = 12limzto0 d^2dz^2l(1(z-1)^2r) Como
ddzl(1(z-1)^2r) = -2(z-1)^3, d^2dz^2l(1(z-1)^2r) = 6(z-1)^4,tomamos z=0 e achamos
[\displaystyle\operatorname{Res}\Bigl(\cdots,0\Bigr)=\frac{1}{2}\cdot\frac{6}{(-1)^{4}}=3.

Passo 5

Quinto, somamos os resíduos e aplicamos a fórmula:
ointC 1z^3(z-1)^2,dz = 2pi il((-3) + 3r) = 2pi icdot 0 = 0
Portanto, a integral vale zero.

Resposta

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