Use a Regra da Cadeia-Caso I para calcular d zd t, onde:
f(x, y)=sen(x) cos (y), onde x=x(t)=pi t e y=y(t)=raizt.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função de duas variáveis envolvida em uma composição. O conteúdo é a Regra da Cadeia Caso I para z = f(x,y) com x = x(t) e y = y(t). Vamos usar parciais de f e derivadas de x e y em relação a t.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de x(t) e y(t):
dxdt = ddt(pi t) = pi,
dydt = ddt(raizt) = 12raizt

Passo 3

Agora, achamos as derivadas parciais de f(x,y) = \sin(x)\cos(y):
partial fpartial x = cos(x)cos(y),
partial fpartial y = sin(x)l(-sin(y)r) = -sin(x)sin(y)

Passo 4

Aplicamos a Regra da Cadeia Caso I:
dzdt = partial fpartial xdxdt + partial fpartial ydydt

Passo 5

Substituindo as expressões de x(t), y(t), e as derivadas encontradas:
dzdt = l[cos(pi t)cos(raizt)r]cdotpi + l[-sin(pi t)sin(raizt)r]cdot12raizt

Resposta

dzdt = pi,cos(pi t)cos(raizt) ; - ; sin(pi t)sin(raizt)2raizt.

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