Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{1}{z{2}\left(z{2}+1\right)} d z ;|z-i|=\frac{3}{2}
\oint_{C} \frac{1}{z{2}\left(z{2}+1\right)} d z ;|z-i|=\frac{3}{2}
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o círculo
. Isso faz parte do conteúdo de Teorema de Cauchy para derivadas e do Teorema dos Resíduos, ou seja, vamos precisar usar a fórmula:
Para singularidades isoladas de ordem
em
:
e o Teorema dos Resíduos:
Passo 2
Precisamos primeiro localizar os polos de
Os polos são:
(de ordem 2),
(simples) e
(simples). Como
é centrado em
com raio
, temos:
-
, logo está dentro; -
, logo está dentro; -
, logo está fora.
Passo 3
Agora calculo a resíduo em
, que é um polo simples. Pela fórmula:
Usei que
.
Passo 4
Para o polo de ordem 2 em
, usamos
Passo 5
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral vale:
Resposta
-\pi