Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{1}{z{2}\left(z{2}+1\right)} d z ;|z-i|=\frac{3}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointC 1z^2(z^2+1),dz onde C é o círculo |z-i|=3/2. Isso faz parte do conteúdo de Teorema de Cauchy para derivadas e do Teorema dos Resíduos, ou seja, vamos precisar usar a fórmula:
Para singularidades isoladas de ordem m em a:
Res(f,a)=1(m-1)!limzto ad^m-1dz^m-1l[(z-a)^m f(z)r]
e o Teorema dos Resíduos:
ointC f(z),dz = 2pi i sumpólos dentro de C Res(f,a) ó

Passo 2

Precisamos primeiro localizar os polos de
f(z)=1z^2(z^2+1)=1z^2(z-i)(z+i)
Os polos são: z=0 (de ordem 2), z=i (simples) e z=-i (simples). Como C é centrado em i com raio 3/2, temos:
  • |i-i|=0<3/2, logo z=i está dentro;
  • |0-i|=1<3/2, logo z=0 está dentro;
  • |-i-i|=2>3/2, logo z=-i está fora.

Passo 3

Agora calculo a resíduo em z=i, que é um polo simples. Pela fórmula:
Res(f,i)=limzto i(z-i)1z^2(z-i)(z+i) =1i^2(i+i) =1(-1)cdot 2i = -12i =i2
Usei que 1/i=-i.

Passo 4

Para o polo de ordem 2 em z=0, usamos
Res(f,0)=limzto 0ddzl[z^2 cdot 1z^2(z^2+1)r] =limzto 0ddzl[1z^2+1r] =limzto 0l[ -2z(z^2+1)^2r] =0

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral vale:
ointCf(z),dz = 2pi i l(Res(f,0)+Res(f,i)r) =2pi i l(0 + tfraci2r) =pi i^2 =-pi

Resposta

-\pi

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