O exercício pede para calcular . O conteúdo principal é integramos uma função racional com quadráticos irreduzíveis no denominador, para isso vamos usar decomposição em frações parciais e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Propomos a forma de fração parcial
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum obtemos
Expandindo cada produto e somando:
Igualando coeficientes, formamos o sistema:
Passo 3
Resolvendo o sistema: da última equação vem B+D=0 logo D=-B. Substituindo em -2A+B+D=0 dá -2A=0 e assim A=0. Da primeira equação C=2. Na terceira, 3cdot0-2B+3cdot2=9 leva a -2B+6=9 e B=-tfrac32, logo D=+tfrac32.
Passo 4
Com esses valores reescrevemos o integrando:
2x^3+9x(x^2+3)(x^2-2x+3)=-3/2x^2+3+2x+3/2x^2-2x+3
Perceba que x^2-2x+3=(x-1)^2+2. Escrevemos 2x+tfrac32=2(x-1)+tfrac72, então
2x+3/2(x-1)^2+2=2(x-1)(x-1)^2+2+7/2(x-1)^2+2
Passo 5
Agora integramos cada parte separadamente:
integral -3/2x^2+3,dx=-32cdot1raiz3arctanl(tfracxraiz3r)=-32raiz3arctanl(tfracxraiz3r)
integral 2(x-1)(x-1)^2+2,dx=lnl((x-1)^2+2r)
integral 7/2(x-1)^2+2,dx=72cdot1raiz2arctanl(tfracx-1raiz2r)=72raiz2arctanl(tfracx-1raiz2r)
Somando tudo e adicionando a constante de integração, temos a primitiva.