Calcule a integral:

Passo 1

O exercício pede para calcular integral 2x^3+9x(x^2+3)(x^2-2x+3),dx. O conteúdo principal é integramos uma função racional com quadráticos irreduzíveis no denominador, para isso vamos usar decomposição em frações parciais e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Propomos a forma de fração parcial
2x^3+9x(x^2+3)(x^2-2x+3)=Ax+Bx^2+3+Cx+Dx^2-2x+3
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum obtemos
2x^3+9x=(Ax+B)(x^2-2x+3)+(Cx+D)(x^2+3)
Expandindo cada produto e somando:
(A+C)x^3+(-2A+B+D)x^2+(3A-2B+3C)x+(3B+3D)=2x^3+0,x^2+9x+0
Igualando coeficientes, formamos o sistema:
A+C=2, -2A+B+D=0, 3A-2B+3C=9, 3B+3D=0

Passo 3

Resolvendo o sistema: da última equação vem B+D=0 logo D=-B. Substituindo em -2A+B+D=0 -2A=0 e assim A=0. Da primeira equação C=2. Na terceira, 3cdot0-2B+3cdot2=9 leva a -2B+6=9 e B=-tfrac32, logo D=+tfrac32.

Passo 4

Com esses valores reescrevemos o integrando:
2x^3+9x(x^2+3)(x^2-2x+3)=-3/2x^2+3+2x+3/2x^2-2x+3
Perceba que x^2-2x+3=(x-1)^2+2. Escrevemos 2x+tfrac32=2(x-1)+tfrac72, então
2x+3/2(x-1)^2+2=2(x-1)(x-1)^2+2+7/2(x-1)^2+2

Passo 5

Agora integramos cada parte separadamente:
  1. integral -3/2x^2+3,dx=-32cdot1raiz3arctanl(tfracxraiz3r)=-32raiz3arctanl(tfracxraiz3r)
  2. integral 2(x-1)(x-1)^2+2,dx=lnl((x-1)^2+2r)
  3. integral 7/2(x-1)^2+2,dx=72cdot1raiz2arctanl(tfracx-1raiz2r)=72raiz2arctanl(tfracx-1raiz2r)
    Somando tudo e adicionando a constante de integração, temos a primitiva.

Resposta

\displaystyle \ln\bigl((x-1)^{2}+2\bigr)-\frac{3}{2\sqrt3}\arctan\Bigl(\frac{x}{\sqrt3}\Bigr)+\frac{7}{2\sqrt2}\arctan\Bigl(\frac{x-1}{\sqrt2}\Bigr)+C

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