Calcule a integral:

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer calcular a integral integraldt(t^2+1)^3. O conteúdo envolve integrais de função racional com (t^2+1)^n e vamos precisar de substituição trigonométrica e redução de potência.

Passo 2

Fazendo a substituição t=tan x, temos dt=sec^2x,dx e 1+t^2=sec^2x. Então a integral vira
integraldt(t^2+1)^3=integralsec^2x,dx(sec^2x)^3=integralcos^4x,dx

Passo 3

Para calcular integralcos^4x,dx, usamos redução de potência: primeiro cos^2x=tfrac1+cos2x2, então
cos^4x=l(tfrac1+cos2x2r)^2=1+2cos2x+cos^22x4ecos^22x=tfrac1+cos4x2,
que leva a
cos^4x=3+4cos2x+cos4x8

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integralcos^4x,dx=integral3+4cos2x+cos4x8,dx=3x8+sin2x4+sin4x32+C

Passo 5

Voltando para t: como x=arctan t temos sin2x=2t1+t^2 e sin4x=4t(1-t^2)(1+t^2)^2. Substituindo e fazendo a simplificação algébrica final, chegamos à primitiva em função de t.

Resposta

t(3t^2+5)8(1+t^2)^2+38arctan t+C

Exercícios relacionados