A questão trata do Teorema Fundamental da Álgebra: temos um polinômio de grau , mostrado que se é raiz, então podemos escrever de forma a evidenciar o fator e, por indução, concluir que tem raízes (contando multiplicidades).
Passo 2
Como é raiz, temos . Logo
que é exatamente o que pedem na parte (a).
Passo 3
Para a parte (b), usamos a fatoração de diferença de potências: para cada ,
Substituindo em cada termo de vemos que
onde q(z) é polinômio de grau n-1. Isso resolve (b).
p(z)=0iff (z-z1),q(z)=0 implica ou z=z1 ou q(z)=0. Como q tem grau n-1, podemos repetir o argumento (ou usar indução) para obter mais n-1 raízes. No total, p(z)=0 tem n raízes (contando multiplicidades).
Resposta
A equação p(z)=0 tem exatamente n raízes (contando multiplicidades) no conjunto dos complexos.