(Teorema Fundamental da Álgebra) Sejam
p(z)=an z^n+an-1 z^n-1+cdots+a1 z+a0
um polinômio de grau n>1 e z1 um número tal que q. Então,
(a) Mostre que n-1.
(b) Usando o resultado da parte (a), mostre que p(z)=0, onde n é um polinômio de grau .
© Usando o resultado da parte (b), explique claramente por que a equação tem raízes.

Passo 1

A questão trata do Teorema Fundamental da Álgebra: temos um polinômio de grau n>1, mostrado que se z1 é raiz, então podemos escrever p(z) de forma a evidenciar o fator (z - z1) e, por indução, concluir que p(z)=0 tem n raízes (contando multiplicidades).

Passo 2

Como z1 é raiz, temos p(z1)=0. Logo
p(z)-p(z1)=anl(z^n - z1^nr)+an-1l(z^n-1-z1^n-1r)+cdots+a1l(z-z1r)
que é exatamente o que pedem na parte (a).

Passo 3

Para a parte (b), usamos a fatoração de diferença de potências: para cada k>=1,
z^k - z1^k = (z - z1)sumj=0^k-1 z^k-1-jz1^j
Substituindo em cada termo de
p(z)-p(z1)=sumk=1^n akl(z^k - z1^kr), vemos que
p(z)=(z-z1)underbracel(ansumj=0^n-1z^n-1-jz1^j + an-1sumj=0^n-2z^n-2-jz1^j + cdots + a1r)q(z), onde q(z) é polinômio de grau n-1. Isso resolve (b).

Passo 4

Para ©, note que a equação
p(z)=0iff (z-z1),q(z)=0 implica ou z=z1 ou q(z)=0. Como q tem grau n-1, podemos repetir o argumento (ou usar indução) para obter mais n-1 raízes. No total, p(z)=0 tem n raízes (contando multiplicidades).

Resposta

A equação p(z)=0 tem exatamente n raízes (contando multiplicidades) no conjunto dos complexos.

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