Suponha que a fronteira
da região circular fechada
definida por
seja parametrizada por
,
. Considerando
, determine os módulos máximo e mínimo da função analítica
dada, assim como os pontos
em
onde esses valores ocorrem. [Sugestão: nas partes (b) e © pode ser útil recordar, do cálculo, como determinar os extremos relativos de uma função de valor real da variável real
.]
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar os módulos máximo e mínimo de f(z)=−2i z²+5 quando z percorre a fronteira C: |z|=1, parametrizada por z(t)=cos t+i sen t= e^{it}, 0≤t≤2π. O conteúdo aqui é estudar o módulo de uma função complexa restrita a |z|=1 e usar cálculo de extremos de uma função real de t.
Passo 2
Substituímos z=e^{it} em f para obter f(t):
Lembrando que
, vamos expressar f(t) em parte real e imaginária.
Passo 3
Em detalhe:
Então
logo a parte real é
e a imaginária é
.
Passo 4
Agora calculamos o quadrado do módulo:
Como
, isso vira
Passo 5
Para achar máximos e mínimos de |f(t)|^2 (e portanto de |f(t)|), basta olhar onde
atinge 1 (máximo) e -1 (mínimo). Temos:
-
em ⇒ . -
em ⇒ .
No intervalo [0,2π] isso dá t=π/4,5π/4 (máximo) e t=3π/4,7π/4 (mínimo).
Passo 6
Finalmente:
- Em t=π/4 ou 5π/4,
⇒ . - Em t=3π/4 ou 7π/4,
⇒ .
Os pontos correspondentes são z=e^{i t}.
Resposta
Módulo máximo: 7 nos pontos z=e^{iπ/4} e z=e^{i5π/4}. Módulo mínimo: 3 nos pontos z=e^{i3π/4} e z=e^{i7π/4}.