Suponha que a fronteira C da região circular fechada R definida por |z| <= 1 seja parametrizada por x=cos t, y=sen t, 0 <= t <= 2 pi. Considerando |f(z(t))|, determine os módulos máximo e mínimo da função analítica f dada, assim como os pontos z em C onde esses valores ocorrem. [Sugestão: nas partes (b) e © pode ser útil recordar, do cálculo, como determinar os extremos relativos de uma função de valor real da variável real t.]
f(z)=-2 i z^2+5

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar os módulos máximo e mínimo de f(z)=−2i z²+5 quando z percorre a fronteira C: |z|=1, parametrizada por z(t)=cos t+i sen t= e^{it}, 0≤t≤2π. O conteúdo aqui é estudar o módulo de uma função complexa restrita a |z|=1 e usar cálculo de extremos de uma função real de t.

Passo 2

Substituímos z=e^{it} em f para obter f(t):
f(t)=f(e^it)=-2iigl(e^itr)^2+5=-2i e^2it+5 
Lembrando que e^2it=cos2t + isin2t, vamos expressar f(t) em parte real e imaginária.

Passo 3

Em detalhe:
-2i e^2it=-2i(cos2t + isin2t)=-2icos2t +2sin2t=2sin2t -2icos2t
Então
f(t)=5 +2sin2t -2icos2t,
logo a parte real é 5+2sin2t e a imaginária é -2cos2t.

Passo 4

Agora calculamos o quadrado do módulo:
|f(t)|^2=(5+2sin2t)^2 +(-2cos2t)^2=25+20sin2t+4sin^2 2t+4cos^2 2t
Como sin^2 2t+cos^2 2t=1, isso vira
|f(t)|^2=25+20sin2t+4=29+20sin2t

Passo 5

Para achar máximos e mínimos de |f(t)|^2 (e portanto de |f(t)|), basta olhar onde sin2t atinge 1 (máximo) e -1 (mínimo). Temos:
  • sin2t=1 em 2t=pi/2+2kpi t=pi/4 +kpi.
  • sin2t=-1 em 2t=3pi/2+2kpi t=3pi/4+kpi.
    No intervalo [0,2π] isso dá t=π/4,5π/4 (máximo) e t=3π/4,7π/4 (mínimo).

Passo 6

Finalmente:
  • Em t=π/4 ou 5π/4, |f|^2=29+20=49 |f|=7.
  • Em t=3π/4 ou 7π/4, |f|^2=29-20=9 |f|=3.
    Os pontos correspondentes são z=e^{i t}.

Resposta

Módulo máximo: 7 nos pontos z=e^{iπ/4} e z=e^{i5π/4}. Módulo mínimo: 3 nos pontos z=e^{i3π/4} e z=e^{i7π/4}.

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