Use a Regra da Cadeia-Caso II para calcular as derivadas parciais partial zpartial u e partial zpartial v :
z=f(x, y)=e^x y tg(y), onde x=x(u, v)=u+2 v e y=y(u, v)=uv.

Passo 1

A questão pede para calcular as derivadas parciais de z em relação a u e v usando a Regra da Cadeia (Caso II). Temos z=f(x,y)=e^{xy},\tan(y), com x(u,v)=u+2v e y(u,v)=u/v. Vamos usar que partial zpartial u=fxpartial xpartial u+fypartial ypartial u e análoga para v.

Passo 2

Primeiro, derivamos x e y em relação a u e v:
partial xpartial u=1, partial xpartial v=2,
partial ypartial u=1v, partial ypartial v=-uv^2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y. Como f(x,y)=e^{xy},\tan(y):
fx=partialpartial x(e^xy,tan(y))=y,e^xy,tan(y),
fy=partialpartial y(e^xy,tan(y))=x,e^xy,tan(y)+e^xy,sec^2(y)

Passo 4

Aplicamos agora a Regra da Cadeia para obter partial zpartial u:
partial zpartial u=fxpartial xpartial u+fypartial ypartial u =e^xyl(y,tan(y)cdot1+l(x,tan(y)+sec^2(y)r)1vr)
E para partial zpartial v:
partial zpartial v=fxpartial xpartial v+fypartial ypartial v =e^xyl(y,tan(y)cdot2-l(x,tan(y)+sec^2(y)r)uv^2r)

Resposta

partial zpartial u=e^xyl(ytan(y)+xtan(y)+sec^2(y)vr),partial zpartial v=e^xyl(2ytan(y)-ul(xtan(y)+sec^2(y)r)v^2r), com x=u+2v e y=u/v.

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