Fixado um ponto
, encontre todas as curvas diferenciáveis tais que a reta tangente em um ponto
passa por
.
Passo 1
O problema quer curvas diferenciáveis em que, em cada ponto (x,y) da curva, a reta tangente passe pelo ponto fixo (a,b). Isso cai num EDO relacionando y′ com x e y.
Passo 2
Para achar a inclinação da reta que une (x,y) a (a,b), usamos inclinação m = (y−b)/(x−a). Mas essa inclinação deve ser igual a derivada y′(x). Logo temos a EDO separável:
Passo 3
Separamos variáveis:
e integrando ambos os lados:
Passo 4
Exponentiando, obtemos
Passo 5
Isso mostra que as curvas são retas que passam por (a,b). Além disso, há a solução vertical x = a, cuja tangente é ela mesma e também passa por (a,b).
Resposta
Todas as soluções são as retas que passam por (a,b): y = k (x − a) + b, com k∈ℝ, e a solução singular x = a.