Fixado um ponto (a, b) in R^2, encontre todas as curvas diferenciáveis tais que a reta tangente em um ponto (x, y) passa por (a, b).

Passo 1

O problema quer curvas diferenciáveis em que, em cada ponto (x,y) da curva, a reta tangente passe pelo ponto fixo (a,b). Isso cai num EDO relacionando y′ com x e y.

Passo 2

Para achar a inclinação da reta que une (x,y) a (a,b), usamos inclinação m = (y−b)/(x−a). Mas essa inclinação deve ser igual a derivada y′(x). Logo temos a EDO separável:
dydx = y - bx - a

Passo 3

Separamos variáveis:
dyy - b = dxx - a,
e integrando ambos os lados:
integral 1y - b,dy = integral 1x - a,dx implies ln|y - b| = ln|x - a| + C

Passo 4

Exponentiando, obtemos
|y - b| = e^C,|x - a| = K,|x - a|, onde K>0. Tirando o valor absoluto e usando constante real arbitrária k, chega-se a
y - b = k (x - a)

Passo 5

Isso mostra que as curvas são retas que passam por (a,b). Além disso, há a solução vertical x = a, cuja tangente é ela mesma e também passa por (a,b).

Resposta

Todas as soluções são as retas que passam por (a,b): y = k (x − a) + b, com k∈ℝ, e a solução singular x = a.

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