(Curvas de perseguição) Considere um rato que se encontra em repouso na origem, quando um gato localizado no ponto ( ) o avista e começa imediatamente a perseguí-lo. Neste mesmo instante, o rato percebe a aproximação do gato e parte em fuga, no sentido positivo do eixo y à velocidade . O gato corre sempre na direção em que está o gato à velocidade constante . Vamos determinar a curva descrita pela trajetória do gato.
(a) Decorrido um certo intervalo de tempo , o gato se encontra no ponto e o rato no ponto . Mostre que
(b) Mostre que . Como O Q=v t, conclua que
vomega integralx^a raiz1+(y^prime(x))^2 d x=y-y^prime x
A questão trata de curvas de perseguição: o gato parte de (a,0) com velocidade constante omega em direção ao rato, que foge ao longo do eixo y com velocidade v. Para resolver vamos usar o conceito de comprimento de arco ds=raiz1+(y')^2,dx, a direção do vetor perseguidor e montar uma equação diferencial para y(x).
Passo 2
O comprimento da trajetória do gato desde x=a até x=x é
integrala^xraiz1+l(y'(x)r)^2,dx
Como o gato corre com velocidade omega, o tempo t satisfaz
omega t=integrala^xraiz1+l(y'(x)r)^2,dx
Invertendo os limites obtemos
t=1omegaintegralx^araiz1+l(y'(x)r)^2,dx
Passo 3
Em cada instante o gato aponta sua velocidade diretamente para o rato em Q=(0,vt). Assim a inclinação da tangente à curva em P=(x,y) é a mesma da reta PQ:
y'=yQ-yxQ-x=vt-y0-x=-vt-yx
Como vt=tfracvomegaintegralx^araiz1+(y')^2,dx, segue que
y'=-tfracvomegaintegralx^araiz1+l(y'r)^2,dx -yx
e rearranjando
vomegaintegralx^araiz1+l(y'r)^2,dx=y-xy'
Passo 4
Diferenciando a identidade
vomegaintegralx^araiz1+l(y'r)^2,dx=y-xy'
em relação a x obtemos
-vomegaraiz1+l(y'r)^2=y'-l(y'+x y''r)=-x y''
logo
x,y''=vomegaraiz1+l(y'r)^2
Definindo c=tfracvomega fica
xd^2ydx^2=craiz1+l(y'r)^2
Passo 5
Para resolver introduzimos u=y'. Então du/dx=y'' e a ODE vira
xdudx=craiz1+u^2
Separamos variáveis:
duraiz1+u^2=cdxx
Integrando
arsinh(u)=cln x + C
Na condição inicial, quando x=a temos y'=0 logo u(a)=0 e
0= cln a + Cimplies C=-cln a
Então
arsinh(u)=clnxa
e
u=y' = sinhl(clnxar)
Passo 6
Finalmente integramos para achar y(x):
Usando t=ln(x/a), temos