Calcule a integral:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^2 + 2x -127x^3 -1,dx. O conteúdo é integração de função racional e vamos precisar usar a decomposição do numerador em parte proporcional à derivada do denominador e complementar, seguida de frações parciais.

Passo 2

Observe que o denominador é D(x)=27x^3-1 e D'(x)=81x^2. Podemos escrever
x^2+2x-127x^3-1 =181D'(x)D(x)+2x-127x^3-1
Assim a integral se separa em
I1=integralx^227x^3-1dx, I2=integral2x-127x^3-1dx

Passo 3

Para I1, fazemos u=27x^3-1, então du=81x^2dx e x^2dx=du/81. Logo
I1=integralx^227x^3-1dx=181integralduu=181ln|27x^3-1|

Passo 4

Para I2, primeiro mude de variável u=3x, logo dx=du/3 e
27x^3-1=(u^3-1), 2x-1=2u3-1=2u-33
Então
I2=integral2x-127x^3-1dx =19integral2u-3u^3-1,du

Passo 5

Agora fazemos frações parciais em
2u-3u^3-1= racAu-1+Bu+Cu^2+u+1
Igualando numeradores obtém-se
A=-tfrac13,;B=tfrac13,;C=tfrac83.

Passo 6

Logo
integral2u-3u^3-1du =-tfrac13ln|u-1|+tfrac16ln(u^2+u+1)+tfrac5raiz3arctanl(2u+1raiz3r)

Passo 7

Multiplicando por 1/9 (o fator de I2) dá
I2=-tfrac127ln|u-1|+tfrac154ln(u^2+u+1)+tfrac59raiz3arctanl(2u+1raiz3r)

Passo 8

Voltando a u=3x,
I2=-tfrac127ln|3x-1|+tfrac154ln(9x^2+3x+1)+tfrac59raiz3arctanl(6x+1raiz3r)

Passo 9

Somando I1+I2 e usando 27x^3-1=(3x-1)(9x^2+3x+1) para combinar logaritmos, obtemos a resposta final.

Passo 10

Resposta

-tfrac281ln|3x-1|+tfrac5162ln(9x^2+3x+1)+tfrac59raiz3arctanl(tfrac6x+1raiz3r)+C

Exercícios relacionados