Este Problema indica os passos iniciais da prova do teorema do módulo mínimo
Se f for uma função analítica em uma região fechada
limitada por uma curva fechada simples
e
para todo z em
, o módulo
assume seu valor mínimo em
.
Defina a função
, releia o Teorema 5.5 .8 e complete a prova do teorema.
Defina a função
Passo 1
O enunciado pede para provar que se uma função f é analítica em uma região fechada R limitada por uma curva simples C e f(z)≠0 em R∪C, então o módulo |f(z)| atinge seu valor mínimo em algum ponto de C. Vamos usar o Teorema do Módulo Máximo (Teorema 5.5.8) aplicado à função g(z)=1/f(z).
Passo 2
Como f(z)≠0 em R∪C, a função g definida por
é também analítica em toda R (pois 1/w é analítica sempre que w≠0).
Pelo Teorema 5.5.8 (Módulo Máximo), uma função analítica não-constante em uma região fechada atinge o valor máximo de seu módulo na fronteira dessa região. Assim, |g(z)| atinge seu máximo em C.
Pelo Teorema 5.5.8 (Módulo Máximo), uma função analítica não-constante em uma região fechada atinge o valor máximo de seu módulo na fronteira dessa região. Assim, |g(z)| atinge seu máximo em C.
Passo 3
Como |g(z)|=1/|f(z)|, maximizar |g(z)| equivale a minimizar |f(z)|. Logo, o máximo de |g| em C corresponde ao mínimo de |f| em C.
Portanto, concluímos que |f(z)| não pode ter um valor estritamente menor no interior de R do que o seu mínimo em C; logo o módulo mínimo de f é atingido em C.
Portanto, concluímos que |f(z)| não pode ter um valor estritamente menor no interior de R do que o seu mínimo em C; logo o módulo mínimo de f é atingido em C.
Resposta
O módulo |f(z)| assume seu valor mínimo em algum ponto de C.