Este Problema indica os passos iniciais da prova do teorema do módulo mínimo
Se f for uma função analítica em uma região fechada R limitada por uma curva fechada simples C e f(z) neq 0 para todo z em R, o módulo |f(z)| assume seu valor mínimo em C.
Defina a função g(z)=1 / f(z), releia o Teorema 5.5 .8 e complete a prova do teorema.

Passo 1

O enunciado pede para provar que se uma função f é analítica em uma região fechada R limitada por uma curva simples C e f(z)≠0 em R∪C, então o módulo |f(z)| atinge seu valor mínimo em algum ponto de C. Vamos usar o Teorema do Módulo Máximo (Teorema 5.5.8) aplicado à função g(z)=1/f(z).

Passo 2

Como f(z)≠0 em R∪C, a função g definida por
g(z)=1f(z)
é também analítica em toda R (pois 1/w é analítica sempre que w≠0).
Pelo Teorema 5.5.8 (Módulo Máximo), uma função analítica não-constante em uma região fechada atinge o valor máximo de seu módulo na fronteira dessa região. Assim, |g(z)| atinge seu máximo em C.

Passo 3

Como |g(z)|=1/|f(z)|, maximizar |g(z)| equivale a minimizar |f(z)|. Logo, o máximo de |g| em C corresponde ao mínimo de |f| em C.
Portanto, concluímos que |f(z)| não pode ter um valor estritamente menor no interior de R do que o seu mínimo em C; logo o módulo mínimo de f é atingido em C.

Resposta

O módulo |f(z)| assume seu valor mínimo em algum ponto de C.

Exercícios relacionados