Calcule a integral:

Passo 1

A gente quer calcular a integral integral e^5x(e^2x+1)^2,dx. O assunto é integração de funções envolvendo exponenciais e frações, e vamos precisar usar uma substituição inteligente para transformar tudo numa integral racional em u.

Passo 2

Fazendo a substituição u = e^x. Aí du = e^x,dx, ou seja dx = duu. Além disso, e^5x = (e^x)^5 = u^5 e e^2x = (e^x)^2 = u^2.
Substituindo na integral original, temos
integral e^5x(e^2x+1)^2,dx = integral u^5(u^2+1)^2 cdot duu = integral u^4(u^2+1)^2,du

Passo 3

Para simplificar u^4(u^2+1)^2, fazemos uma “divisão de polinômios”: note que
u^4 = (u^2+1)^2 - 2u^2 -1, portanto
u^4(u^2+1)^2 = 1 - 2u^2+1(u^2+1)^2 Logo a integral vira
integral u^4(u^2+1)^2,du = integral 1,du - integral 2u^2+1(u^2+1)^2,du

Passo 4

Agora escrevemos
2u^2+1(u^2+1)^2 = 21u^2+1 - 1(u^2+1)^2, de modo que
integral u^4(u^2+1)^2,du = u - 2integral duu^2+1 + integral du(u^2+1)^2

Passo 5

Sabemos as integrais padrões:
  • integral duu^2+1 = arctan(u) + C.
  • integral du(u^2+1)^2 = u2(u^2+1) + 12arctan(u) + C.
    Substituindo essas, obtemos
u - 2arctan(u) + l(u2(u^2+1) + 12arctan(u)r) + C = u + u2(u^2+1) - 32arctan(u) + C

Passo 6

Por fim voltamos a x usando u=e^x. Isso dá
e^x + e^x2,(e^2x+1) - 32arctanl(e^xr) + C

Resposta

e^x + e^x2(e^2x+1) - tfrac32arctan(e^x) + C

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