Use resultados conhecidos para expandir a função dada em uma série de Maclaurin. Dê o raio de convergência R de cada série.
f(z)=14-2 z

Passo 1

A questão pede a expansão em série de Maclaurin de f(z)=14-2z e o raio de convergência dessa série. Vamos usar o fato de que a série geométrica 1/(1-w)=sumn=0^inftyw^n para |w|<1.

Passo 2

Começamos fatorando o denominador para caber na forma 1-w. Observe que
14-2z=14cdot11-z2
Aqui identificamos w=tfracz2.

Passo 3

Agora aplicamos a expansão geométrica:
11-w=sumn=0^inftyw^n,
válida para |w|<1. Substituindo w=tfracz2 e o fator 1/4, obtemos
14-2z=14sumn=0^inftyl(z2r)^n =sumn=0^inftyz^n4,2^n =sumn=0^inftyz^n2^n+2

Passo 4

Para achar o raio de convergência, olhamos a condição de convergência da geométrica |w|<1Rightarrow|z/2|<1. Daí vem
|z|<2
logo o raio de convergência é R=2.

Resposta

[f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{zn}{2{n+2}}]
O raio de convergência é R = 2.

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