Use resultados conhecidos para expandir a função dada em uma série de Maclaurin. Dê o raio de convergência
de cada série.
Passo 1
A questão pede a expansão em série de Maclaurin de
e o raio de convergência dessa série. Vamos usar o fato de que a série geométrica
para
.
Passo 2
Começamos fatorando o denominador para caber na forma
. Observe que
Aqui identificamos
.
Passo 3
Agora aplicamos a expansão geométrica:
válida para
. Substituindo
e o fator
, obtemos
Passo 4
Para achar o raio de convergência, olhamos a condição de convergência da geométrica
. Daí vem
logo o raio de convergência é
.
Resposta
[f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{zn}{2{n+2}}]
O raio de convergência é .
O raio de convergência é