Encontre uma representação em série de potências da função
e determine o raio e intervalo de convergência da série obtida.
Passo 1
O enunciado pede para achar a série de potências de
centrada em zero, ou seja, uma expansão em série de Maclaurin, e em seguida determinar o raio e o intervalo de convergência. Vamos usar a ideia de série geométrica para isso.
Passo 2
Primeiro escrevemos
de modo a identificar uma forma
. Note que
Passo 3
Sabemos que, para
, vale a série geométrica
Aqui basta tomar
. Então
válida sempre que
.
Passo 4
Multiplicamos essa expansão por
para obter
:
Passo 5
Para escrever último resultado como série padrão em
, fazemos a troca de índice
. Quando
, temos
. Assim
Passo 6
O critério de convergência veio de
, ou seja,
Isso nos dá o raio de convergência
. O intervalo de convergência é então
e os extremos
não pertencem ao intervalo pois a série não converge nesses pontos.
Passo 7
Resumo: a expansão de
é
com raio de convergência
e intervalo de convergência
.