Encontre uma representação em série de potências da função f(x) e determine o raio e intervalo de convergência da série obtida.
f(x)=x4 x+1

Passo 1

O enunciado pede para achar a série de potências de f(x)=x4x+1 centrada em zero, ou seja, uma expansão em série de Maclaurin, e em seguida determinar o raio e o intervalo de convergência. Vamos usar a ideia de série geométrica para isso.

Passo 2

Primeiro escrevemos f(x) de modo a identificar uma forma 1/(1+u). Note que
f(x)=x4x+1=xcdot11+4x

Passo 3

Sabemos que, para |u|<1, vale a série geométrica
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n
Aqui basta tomar u=4x. Então
11+4x=sumn=0^infty(-1)^n(4x)^n=sumn=0^infty(-1)^n4^n x^n,
válida sempre que |4x|<1.

Passo 4

Multiplicamos essa expansão por x para obter f(x):
f(x)=xsumn=0^infty(-1)^n4^n x^n=sumn=0^infty(-1)^n4^n x^n+1

Passo 5

Para escrever último resultado como série padrão em x^k, fazemos a troca de índice k=n+1. Quando n=0, temos k=1. Assim
f(x)=sumk=1^infty(-1)^k-14^k-1x^k

Passo 6

O critério de convergência veio de |4x|<1, ou seja,
|x|<14
Isso nos dá o raio de convergência R=tfrac14. O intervalo de convergência é então
-tfrac14
e os extremos x=pmtfrac14 não pertencem ao intervalo pois a série não converge nesses pontos.

Passo 7

Resumo: a expansão de f(x) é
f(x)=sumk=1^infty(-1)^k-14^k-1x^k,
com raio de convergência R=tfrac14 e intervalo de convergência (-tfrac14,tfrac14).

Resposta

f(x)=sumk=1^infty(-1)^k-14^k-1x^k, R=tfrac14,intervalo de convergência;(-tfrac14,tfrac14)ê

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