Calcule a integral:

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral integral (sec^2 x +1)sec^2 x1+tan^3 x,dx. O conteúdo envolve substituição u=tan x, integração de função racional por frações parciais e uso da função arco-tangente.

Passo 2

Fazendo a substituição u=tan x, temos du=sec^2 x,dx. Reescrevemos a integral em função de u:
$$
\int \frac{(\sec^2 x +1)\sec^2 x}{1+\tan^3 x},dx

\int \frac{((1+u2)+1),du}{1+u3}
=\int \frac{u2+2}{u3+1},du.
$$

Passo 3

Decompondo u^2+2u^3+1 em frações parciais. Como
u^3+1=(u+1)(u^2-u+1),
assumimos
u^2+2(u+1)(u^2-u+1)=Au+1+Bu+Cu^2-u+1
Resolvendo, obtemos A=1, B=0 e C=1. Logo
u^2+2u^3+1 =1u+1+1u^2-u+1

Passo 4

Integramos cada termo separadamente. Para o primeiro:
integral 1u+1,du=ln|u+1|
Para o segundo, completamos o quadrado:
u^2-u+1=l(u-tfrac12r)^2+tfrac34,
logo
integral 1u^2-u+1,du=2raiz3arctan!gl(2u-1raiz3gr)

Passo 5

Voltando à variável original, basta substituir u=tan x nas primitivas obtidas.

Resposta

ln|tan x+1|+2raiz3arctanl(2tan x-1raiz3r)+C

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