Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
. O conteúdo envolve substituição
, integração de função racional por frações parciais e uso da função arco-tangente.
Passo 2
Fazendo a substituição
, temos
. Reescrevemos a integral em função de
:
$$
\int \frac{(\sec^2 x +1)\sec^2 x}{1+\tan^3 x},dx
\int \frac{((1+u2)+1),du}{1+u3}
=\int \frac{u2+2}{u3+1},du.
=\int \frac{u2+2}{u3+1},du.
$$
Passo 3
Decompondo
em frações parciais. Como
assumimos
Resolvendo, obtemos
,
e
. Logo
Passo 4
Integramos cada termo separadamente. Para o primeiro:
Para o segundo, completamos o quadrado:
logo
Passo 5
Voltando à variável original, basta substituir
nas primitivas obtidas.