Determine, em função da constante k do ítem anterior, o tempo necessário para esvaziar um tanque cilíndrico de raio R e altura h0, cheio de água, admitindo-se que a água escoe através de um orifício, situado na base do tanque.

Passo 1

Aqui a gente tem um tanque cilíndrico de raio R e altura inicial h0, cheio de água e com um orifício na base por onde sai água. Pelo item anterior, o escoamento segue a lei de Torricelli, isto é, a vazão é dada por dVdt=-kraizh. Vamos achar o tempo para esvaziar o tanque.

Passo 2

O volume de um cilindro é V=pi R^2h. Logo, diferenciando em relação ao tempo, obtemos
dVdt=pi R^2dhdt
Igualando à vazão do orifício, ficamos com
pi R^2dhdt=-kraizh

Passo 3

Agora separamos as variáveis para integrar:
dhraizh=-kpi R^2,dt

Passo 4

Integramos de h0 até 0 no lado esquerdo e de 0 até T no direito. Calculando as integrais temos
integralh0^0h^-1/2dh=2raizh0,
$$
-\frac{k}{\pi R2}\int_{0}{T}dt=-\frac{k}{\pi R^2}T.$$
Igualando e isolando -kpi R^2integral0^Tdt=-kpi R^2T, chegamos a

Passo 5

Após a simplificação final, o tempo necessário para esvaziar o tanque é dado por

Resposta

T=2pi R^2raizh0k

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