Use resultados conhecidos para expandir a função dada em uma série de Maclaurin. Dê o raio de convergência
de cada série.
Passo 1
O enunciado pede para expandir a função
em série de Maclaurin, ou seja, em potências de
centradas em zero, e determinar o raio de convergência
. Vamos usar resultados conhecidos de séries de potências e do desenvolvimento binomial para isso.
Passo 2
Para começar, lembramos o desenvolvimento binomial generalizado para
:
Aqui usamos
. Assim,
Passo 3
Agora multiplicamos essa série por
para obter
:
Passo 4
Fazemos uma mudança de índice definindo
. Quando
,
; e à medida que
,
. Substituindo:
Passo 5
O raio de convergência dessa série é o mesmo do desenvolvimento de
, que converge para
. Assim, temos
.