Use resultados conhecidos para expandir a função dada em uma série de Maclaurin. Dê o raio de convergência R de cada série.
f(z)=z(1-z)^3

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função f(z)=z(1-z)^3 em série de Maclaurin, ou seja, em potências de z centradas em zero, e determinar o raio de convergência R. Vamos usar resultados conhecidos de séries de potências e do desenvolvimento binomial para isso.

Passo 2

Para começar, lembramos o desenvolvimento binomial generalizado para |z|<1:
(1 - z)^-3 = sumn=0^infty binomn+22 ,z^n
Aqui usamos binomn+22=(n+1)(n+2)2. Assim,
(1 - z)^-3 = sumn=0^infty (n+1)(n+2)2,z^n

Passo 3

Agora multiplicamos essa série por z para obter f(z)=z(1-z)^-3:
f(z) = z,(1 - z)^-3 = sumn=0^infty (n+1)(n+2)2,z^n+1

Passo 4

Fazemos uma mudança de índice definindo m = n + 1. Quando n=0, m=1; e à medida que ntoinfty, mtoinfty. Substituindo:
f(z) = summ=1^infty m(m+1)2,z^m

Passo 5

O raio de convergência dessa série é o mesmo do desenvolvimento de (1-z)^-3, que converge para |z|<1. Assim, temos R = 1.

Resposta

f(z)=sumn=1^infty n(n+1)2,z^n, R=1

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