Calcule a integral.
integral0^1(x^2+1) e^-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1l(x^2+1r)e^-x,dx
O conteúdo principal aqui é usar a técnica de integração por partes e a propriedade de linearidade de integrais, além de conhecer a antiderivada de e^-x.

Passo 2

Separemos a integral em duas partes por linearidade:
integral0^1l(x^2+1r)e^-x,dx = integral0^1x^2e^-x,dx + integral0^1e^-x,dx

Passo 3

Calculemos primeiro
integral0^1e^-x,dx
A antiderivada de e^-x é -e^-x, logo
integral0^1e^-x,dx =l[-e^-xr]0^1 =-e^-1-l(-e^0r) =1-e^-1

Passo 4

Agora vamos a
integral0^1x^2e^-x,dx
Aplicamos integração por partes com
u=x^2,;dv=e^-xdx, de modo que
du=2x,dx,;v=-e^-x.
Então
integral x^2e^-x,dx =uv-integral v,du =-x^2e^-x -integrall(-e^-xr),2x,dx =-x^2e^-x+2integral x e^-x,dx
Para integral x e^-x,dx repetimos partes com
u=x,;dv=e^-xdx, obtendo
integral x e^-x,dx=-(x+1)e^-x+C.
Logo a antiderivada geral de x^2e^-x é
-(x^2+2x+2)e^-x+C
Avaliando de 0 a 1:
integral0^1x^2e^-x,dx =l[-(x^2+2x+2)e^-xr]0^1 =l[-5e^-1r]-l[-2cdot e^0r] =2-5e^-1

Passo 5

Somando as duas partes:
integral0^1l(x^2+1r)e^-x,dx =l(2-5e^-1r)+l(1-e^-1r) =3-6e^-1

Resposta

3-6e^-1

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