Esboce as curvas de nível de
para os valores dados de k :
Passo 1
Beleza, o exercício quer que a gente esboce as curvas de nível de
para os valores de
. Isso cai em Cálculo Multivariável, na parte de “curvas de nível”. Vamos precisar entender:
- O que é curva de nível (nível é valor constante da função).
- Como transformar a equação
numa forma reconhecível (aqui vai virar elipse).
Passo 2
Curva de nível de
pra um valor
nada mais é do que o conjunto
.
Então, fixando , a gente tem
Então, fixando
Passo 3
Pra identificar a forma dessa equação, divide tudo por
(considerando
):
Isso é a equação-padrão de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos ao longo de
e
.
Passo 4
Da forma
a gente sabe que
é o semi-eixo em
,
é o semi-eixo em
.
Comparando:
Comparando:
Passo 5
Só falta listar pro
pedido:
- Para
: degenera num ponto só, . - Para
: elipse com , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , .
Cada curva é uma elipse mais “esticada” conformecresce.
Resposta
As curvas de nível de
para
são:
– : ponto
.
– : elipses centradas na origem com equação
–
–
isto é, semi-eixos
e
, para cada
.