Esboce as curvas de nível de f(x, y) para os valores dados de k :
f(x, y)=x^2+9 y^2, k=0,1,2,3,4

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente esboce as curvas de nível de
f(x,y)=x^2+9y^2
para os valores de k=0,1,2,3,4. Isso cai em Cálculo Multivariável, na parte de “curvas de nível”. Vamos precisar entender:
  1. O que é curva de nível (nível é valor constante da função).
  2. Como transformar a equação f(x,y)=k numa forma reconhecível (aqui vai virar elipse).

Passo 2

Curva de nível de f pra um valor k nada mais é do que o conjunto (x,y)mid f(x,y)=k.
Então, fixando k, a gente tem
x^2+9y^2=k

Passo 3

Pra identificar a forma dessa equação, divide tudo por k (considerando k>0):
x^2k+9y^2k=1 ;;Longrightarrow;; x^2k+y^2k/9=1
Isso é a equação-padrão de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos ao longo de x e y.

Passo 4

Da forma
x^2a^2+y^2b^2=1
a gente sabe que a é o semi-eixo em x, b é o semi-eixo em y.
Comparando:
a^2=k , b^2=k9 ;;Longrightarrow;; a=raizk, b=raizk3

Passo 5

Só falta listar pro k pedido:
  • Para k=0: degenera num ponto só, (0,0).
  • Para k=1: elipse com a=1, b=tfrac13.
  • Para k=2: a=raiz2, b=tfracraiz23.
  • Para k=3: a=raiz3, b=tfracraiz33.
  • Para k=4: a=2, b=tfrac23.
    Cada curva é uma elipse mais “esticada” conforme k cresce.

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=x^2+9y^2 para k=0,1,2,3,4 são:
k=0: ponto (0,0).
k>0: elipses centradas na origem com equação
x^2k+y^2k/9=1,
isto é, semi-eixos a=raizk e b=tfracraizk3, para cada kin1,2,3,4.

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