Sejam f(t)=t^2+3, g(t)=2 t^3-3 t, u(t)=t i-t^2 j+2 t k, e v(t)=i-2 t j+3 t^2 k. Determine
dd t(2 u cdot v)

Passo 1

O enunciado fornece as funções vetoriais
u(t)=ti-t^2j+2tk
e
v(t)=i-2tj+3t^2k,
além de f e g que não entram no cálculo pedido. Queremos
ddtl(2,u(t)cdotv(t)r).
Usaremos as fórmulas
ddtl(c,h(t)r)=c,h'(t), ddtl(ucdotvr) =u,'cdotv+ucdotv,'

Passo 2

Derivamos cada componente de u(t) e de v(t):
u,'(t) =ddtl(t,-t^2,2tr) =(1,,-2t,,2) =1i-2tj+2k,
v,'(t) =ddtl(1,-2t,3t^2r) =(0,,-2,,6t) =0i-2j+6tk

Passo 3

Calculamos os produtos escalares
u,'cdotv =(1)cdot(1)+(-2t)cdot(-2t)+2cdot(3t^2) =1+4t^2+6t^2 =1+10t^2,
ucdotv,' =(t)cdot0+(-t^2)cdot(-2)+(2t)cdot(6t) =2t^2+12t^2 =14t^2

Passo 4

Aplicando a regra do produto escalar e o fator 2, obtemos
ddtl(2,ucdotvr) =2l(u,'cdotv+ucdotv,'r) =2l(1+10t^2+14t^2r) =2l(1+24t^2r) =2+48t^2

Resposta

ddtl(2,u(t)cdotv(t)r) =2+48t^2

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