Sejam f(t)=t^2+3, g(t)=2 t^3-3 t, u(t)=t i-t^2 j+2 t k, e v(t)=i-2 t j+3 t^2 k. Determine
dd t(u times t v), dd t(t u times v), dd t(t(u times v))

Passo 1

O enunciado define
u(t) = (t,,-t^2,,2t),
v(t) = (1,,-2t,,3t^2),
e pede as derivadas de
utimes (tv),
(tu)times v
e
tl(utimesvr).
O conteúdo necessário é a regra do produto escalar para derivadas e a regra de derivação do produto vetorial:
ddt(alphaA)=alpha'A+alpha,A', ddt(AtimesB)=A'timesB+AtimesB'

Passo 2

Note que para qualquer escalar t vale
utimesl(tvr) = tl(utimesvr), l(tur)timesv = tl(utimesvr)
Logo as três funções cujas derivadas se pedem coincidem com
tl(utimesvr).

Passo 3

Calculemos primeiro o produto vetorial
utimesv.
Fazendo o determinante em componentes,
utimesv = l(-t^2cdot3t^2 - 2tcdot(-2t),; -l(tcdot3t^2 - 2tcdot1r),; tcdot(-2t) - (-t^2)cdot1r)
utimesv = (,4t^2-3t^4,;-3t^3+2t,;-t^2,)

Passo 4

Precisamos de dfracddt(utimesv).
Calculemos u' e v':
u'=(1,,-2t,,2), v'=(0,,-2,,6t)
Pela regra do produto vetorial,
ddt(utimesv) =u'timesv +utimesv' =(,4t-6t^3,;-3t^2+2,,0) +(,4t-6t^3,;-6t^2,;-2t)
ddt(utimesv) =(,8t-12t^3,;-9t^2+2,;-2t,)

Passo 5

Agora use a regra do produto escalar para
tl(utimesvr):
ddtl[t(utimesv)r] =utimesv + t,ddt(utimesv)
=(,4t^2-3t^4,;-3t^3+2t,;-t^2) + t,(8t-12t^3,;-9t^2+2,;-2t)
=(,4t^2-3t^4+8t^2-12t^4,; -3t^3+2t-9t^3+2t,; -t^2-2t^2)
=(,12t^2-15t^4,;-12t^3+4t,;-3t^2,)

Resposta

ddtl(utimes tvr) =ddtl(tutimesvr) =ddtl(t(utimesv)r) =l(12t^2-15t^4,;4t-12t^3,;-3t^2r)

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