Calcule a integral
integral0^2(43 x^3-34 x^2+25 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de uma função polinomial entre 0 e 2:
integral0^2l(tfrac43x^3-tfrac34x^2+tfrac25xr),dx
O conteúdo aqui é integração de polinômios, onde vamos usar a regra básica integral x^ndx = tfracx^n+1n+1 e depois avaliar a primitiva nos limites.

Passo 2

Vamos achar a primitiva F(x) termo a termo:
Para tfrac43x^3:
integral tfrac43x^3,dx = tfrac43cdot tfracx^44 = tfracx^43
Para -tfrac34x^2:
integral -tfrac34x^2,dx = -tfrac34cdot tfracx^33 = -tfracx^34
Para tfrac25x:
integral tfrac25x,dx = tfrac25cdot tfracx^22 = tfracx^25
Somando, obtemos
F(x) = tfracx^43 ;-;tfracx^34 ;+;tfracx^25

Passo 3

Agora avaliamos F(x) em x=2 e em x=0:
F(2) = tfrac2^43 - tfrac2^34 + tfrac2^25 = tfrac163 - tfrac84 + tfrac45 = tfrac163 - 2 + tfrac45
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 15:
tfrac163 = tfrac8015, 2 = tfrac3015, tfrac45 = tfrac1215,
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F(2) = tfrac80 - 30 + 1215 = tfrac6215
E claramente F(0)=0.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integral0^2l(tfrac43x^3-tfrac34x^2+tfrac25xr),dx = F(2) - F(0) = tfrac6215

Resposta

6215

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