A transformação que descreve a rotação de um ponto genérico do plano por um ângulo é descrita por
(a) Deduza a fórmula acima usando coordenadas polares, comparando
e usando as fórmulas de adição de arcos (fórmulas para e . Pesquise no google caso não tenha aprendido isso ainda).
(b) Mostre que preserva áreas, isto é, se uma região tem área , então a região também tem área (em outras palavras, rodar uma região não altera a área).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Mostrar que, em coordenadas polares
usando as fórmulas de adição de arcos
chegamos às expressões
(b) Mostrar que essa transformação preserva área, ou seja, que a região girada tem a mesma área da original.
Conteúdo utilizado: coordenadas polares, fórmulas de adição de arcos e cálculo do Jacobiano para determinar preservação de áreas.
Passo 2
Escrevemos e em polares e a rotação em função de :
Passo 3
Aplicamos as fórmulas de adição de ângulo para e :
Passo 4
Substituindo em e e usando , , obtemos
Logo a fórmula da rotação por é
Passo 5
Para mostrar que preserva áreas, calculamos seu Jacobiano: