A transformação que descreve a rotação Ttheta(x, y)=(tildex, tildey) de um ponto genérico (x, y) do plano por um ângulo alpha é descrita por
tildex & =x cos (alpha)-y sin (alpha) tildey & =x sin (alpha)-y cos (alpha)
(a) Deduza a fórmula acima usando coordenadas polares, comparando
l x = rho operatorname c o s ( theta ) y = rho operatorname s i n ( theta ) operatorname c o m l tildex=rho cos (theta+alpha) tildey=rho sin (theta+alpha)
e usando as fórmulas de adição de arcos (fórmulas para cos (a pm b) e sin (a pm b). Pesquise no google caso não tenha aprendido isso ainda).
(b) Mostre que Ttheta preserva áreas, isto é, se uma região B tem área A, então a região Ttheta(B)=Ttheta(x, y):(x, y) in B também tem área A (em outras palavras, rodar uma região não altera a área).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que, em coordenadas polares
x = rhocos(theta), y = rhosin(theta), e tilde x = rhocos(theta+alpha), tilde y = rhosin(theta+alpha),
usando as fórmulas de adição de arcos
cos(a+b)=cos acos b-sin asin b, sin(a+b)=sin acos b+cos asin b,
chegamos às expressões
tilde x = xcosalpha - ysinalpha, tilde y = xsinalpha + ycosalpha
  • (b) Mostrar que essa transformação preserva área, ou seja, que a região girada tem a mesma área da original.
Conteúdo utilizado: coordenadas polares, fórmulas de adição de arcos e cálculo do Jacobiano para determinar preservação de áreas.

Passo 2

Escrevemos x e y em polares e a rotação em função de theta+alpha:
x = rhocos(theta), y = rhosin(theta),
tilde x = rhocos(theta+alpha), tilde y = rhosin(theta+alpha)

Passo 3

Aplicamos as fórmulas de adição de ângulo para cos(theta+alpha) e sin(theta+alpha):
cos(theta+alpha)=costhetacosalpha-sinthetasinalpha,
sin(theta+alpha)=sinthetacosalpha+costhetasinalpha

Passo 4

Substituindo em tilde x e tilde y e usando x=rhocostheta, y=rhosintheta, obtemos
tilde x = rhol(costhetacosalpha-sinthetasinalphar) = xcosalpha - ysinalpha,
tilde y = rhol(sinthetacosalpha+costhetasinalphar) = ycosalpha + xsinalpha
Logo a fórmula da rotação por alpha é
Talpha(x,y) =l(xcosalpha - ysinalpha,;xsinalpha + ycosalphar)

Passo 5

Para mostrar que Talpha preserva áreas, calculamos seu Jacobiano:
J(x,y) = dfracpartialtilde xpartial x & dfracpartialtilde xpartial y[1em] dfracpartialtilde ypartial x & dfracpartialtilde ypartial y = cosalpha & -sinalpha[6pt] sinalpha & cosalpha
O determinante deste Jacobiano é
det J = cosalphacdotcosalpha ;-;(-sinalpha)cdotsinalpha = cos^2alpha + sin^2alpha = 1
Como o elemento de área se transforma como dtilde x, dtilde y = |det J|; dx, dy, e |det J|=1, a área é preservada.]

Resposta

(a)
Talpha(x,y) =l(xcosalpha - ysinalpha,;xsinalpha + ycosalphar)
(b)
O Jacobiano de Talpha tem determinante igual a 1, logo Talpha preserva áreas.

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