Considere o círculo C: u^2+v^2 <= 1 e a Elipse E: x^2a^2+v^2b^2 <= 1.
(a) Encontre uma transformação varphi: C E que mapeia o círculo C na Elipse E bijetivamente.
(b) Mostre que as áreas A(C), do círculo C, e A(E), da Elipse E, se relacionam por A(E)=a b A(C).

Passo 1

O enunciado nos dá o disco
C = (u,v)mid u^2+v^2<=1
e a elipse
E = (x,y)mid x^2/a^2+y^2/b^2<=1
Pede (a) uma bijeção varphicolon Cto E e (b) mostrar que as áreas satisfazem A(E)=ab,A(C). O conteúdo usado será transformação linear e mudança de variáveis em integrais para área.

Passo 2

Definimos a transformação
varphi(u,v)=(,a,u,;b,v,).
Se (u,v)in C, então
(a,u)^2a^2+(b,v)^2b^2 = u^2+v^2<=1,
logo varphi(u,v)in E. Assim varphi mapeia C em E.

Passo 3

Para ver que varphi é bijetiva, basta notar que é invertível:
varphi^-1(x,y)=l(x/a,;y/br),
e essa inversa leva E de volta em C.

Passo 4

A matriz jacobiana de varphi é
Dvarphi(u,v) = a & 0 0 & b ,
logo
det Dvarphi(u,v)=a,b

Passo 5

Pelo teorema da mudança de variáveis em integrais duplas, a área de E é
A(E)=integral duplaEdx,dy =integral duplaCl|det Dvarphi(u,v)r|,du,dv =abintegral duplaCdu,dv =ab,A(C)

Resposta

varphi(u,v)=(au,bv)
e
A(E)=ab,A(C).

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