Considere o círculo e a Elipse .
(a) Encontre uma transformação que mapeia o círculo na Elipse bijetivamente.
(b) Mostre que as áreas , do círculo , e , da Elipse , se relacionam por .
Passo 1
O enunciado nos dá o disco
e a elipse
Pede (a) uma bijeção e (b) mostrar que as áreas satisfazem . O conteúdo usado será transformação linear e mudança de variáveis em integrais para área.
Passo 2
Definimos a transformação .
Se , então
logo . Assim mapeia em .
Passo 3
Para ver que é bijetiva, basta notar que é invertível:
e essa inversa leva de volta em .
Passo 4
A matriz jacobiana de é
logo
det Dvarphi(u,v)=a,b
Passo 5
Pelo teorema da mudança de variáveis em integrais duplas, a área de E é