(valor 1,5) Determine o conjunto solução da inequação x+1x^2-4 <= 0.

Passo 1

O enunciado pede o conjunto solução da inequação
x+1x^2-4<= 0
O conteúdo é análise de sinal de função racional; vamos precisar determinar domínio, zeros e sinais em cada intervalo para decidir onde a fração é não-positiva.

Passo 2

Primeiro, o denominador não pode ser zero, daí
x^2-4neq 0 Longrightarrow xneq pm 2
O numerador anula-se em x+1=0, ou seja, em x=-1. Os pontos críticos são, portanto,
x=-2, x=-1, x=2

Passo 3

Vamos analisar o sinal de x+1(x-2)(x+2) em cada intervalo determinado por esses pontos:
Para x<-2, escolha x=-3:
,x+1=-2<0 e (x-2)(x+2)=(-5)cdot(-1)>0, logo a fração é negativa.
Para -2<x<-1, escolha x=-1,5:
,x+1<0 e (x-2)(x+2)<0, logo a fração é positiva.
Para -1<x<2, escolha x=0:
,x+1>0 e (x-2)(x+2)<0, logo a fração é negativa.
Para x>2, escolha x=3:
,x+1>0 e (x-2)(x+2)>0, logo a fração é positiva.

Passo 4

Queremos x+1x^2-4<=0, isto é, fração negativa ou zero. Dos sinais obtidos, ela é negativa em
(-infty,-2)e(-1,2),
e anula-se em x=-1. Como x=pm2 estão fora do domínio, a união dessas partes dá
(-infty,-2),cup,-1,cup,(-1,2) ;=; (-infty,-2),cup,[-1,2)

Resposta

(-infty,-2),cup,[-1,2)

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