Calcule a integral.
∫₋₁²(x³−2x)dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de uma função polinomial no intervalo de -1 a 2. O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo: para integrar um polinômio, primeiro encontramos uma primitiva (ou antiderivada) e depois avaliamos essa primitiva nos limites do intervalo.

Passo 2

Para obter a primitiva de f(x)=x^3-2x, usamos as regras básicas:
\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}, \quad \int (-2x)\,dx = -2\cdot\frac{x^2}{2} = -x^2.
Portanto, uma primitiva é
F(x) = \frac{x^4}{4} - x^2.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{-1}^{2} \bigl(x^3 - 2x\bigr)\,dx = F(2) - F(-1).

Passo 4

Calculamos os valores de F nos extremos:
F(2) = \frac{2^4}{4} - 2^2 = \frac{16}{4} - 4 = 4 - 4 = 0,
F(-1) = \frac{(-1)^4}{4} - (-1)^2 = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}.
Logo,
\int_{-1}^{2} (x^3 - 2x)\,dx = 0 - \Bigl(-\tfrac{3}{4}\Bigr) = \frac{3}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}

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