Calcule a integral.
∫₀¹(xᵉ+eˣ)dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\bigl(x^{e}+e^{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de soma de funções, usando a regra da potência para x^{e} e a primitiva de e^{x}.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes:
\int_{0}^{1}x^{e}\,dx \quad\text{e}\quad \int_{0}^{1}e^{x}\,dx.
Para a primeira, aplicamos a regra da potência:
\int x^{e}\,dx = \frac{x^{\,e+1}}{e+1} + C.
Logo,
\int_{0}^{1}x^{e}\,dx = \left[\frac{x^{\,e+1}}{e+1}\right]_{0}^{1} = \frac{1^{\,e+1}}{e+1}-0 = \frac{1}{e+1}.

Passo 3

Para a segunda parte, sabemos que a primitiva de e^{x} é ela própria:
\int e^{x}\,dx = e^{x} + C.
Portanto,
\int_{0}^{1}e^{x}\,dx = \bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{1} = e^{1}-e^{0} = e - 1.

Passo 4

Somamos os dois resultados:
\frac{1}{e+1} \;+\;(e-1).
Para deixar num só quociente, escrevemos
e-1 + \frac{1}{e+1} = \frac{(e-1)(e+1) + 1}{e+1} = \frac{e^{2}-1+1}{e+1} = \frac{e^{2}}{e+1}.

Resposta

\int_{0}^{1}\bigl(x^{e}+e^{x}\bigr)\,dx = \frac{e^{2}}{e+1}.

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