Calcule integral 18 x^3+27 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . Esse problema é de cálculo, mais especificamente de integração de funções racionais. Para solucionar, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) . Percebe que isso é uma soma de cubos, porque 8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3 = (2x + 3)(4x^2 - 6x + 9) é e é . Sabemos que a soma de dois cubos pode ser fatorada assim:
Aplicando isso aqui:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar números 1(2x + 3)(4x^2 - 6x + 9) = A2x + 3 + Bx + C4x^2 - 6x + 9 , e tais que:

Passo 4

Vamos resolver para 1 = A(4x^2 - 6x + 9) + (Bx + C)(2x + 3) , 1 = A cdot 4x^2 - A cdot 6x + A cdot 9 + Bx cdot 2x + Bx cdot 3 + C cdot 2x + C cdot 3 e 1 = (4A + 2B)x^2 + (-6A + 3B + 2C)x + (9A + 3C) . Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum 4A + 2B = 0 -6A + 3B + 2C = 0 9A + 3C = 1 , temos:
-6A + 3(-2A) + 2C = 0 Rightarrow -6A -6A + 2C = 0 Rightarrow -12A + 2C = 0 Rightarrow -6A + C = 0 Rightarrow C = 6A
Expandindo o lado direito:
9A + 3(6A) = 1 Rightarrow 9A + 18A = 1 Rightarrow 27A = 1 Rightarrow A = 127
Simplificando:
B = -2A = -227
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados:
C = 6A = 627 = 29
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na terceira equação:
Então,

Passo 5

Agora que temos 18x^3+27 = 1272x + 3 + -227x + 294x^2 - 6x + 9 , -227x + 294x^2 - 6x + 9 = -2x + 627(4x^2 - 6x + 9) e integral 18x^3+27 , dx = integral 127(2x + 3) , dx + integral -2x + 627(4x^2 - 6x + 9) , dx , podemos escrever a fração parcial completa:
127 cdot 12 ln|2x + 3| + C1 = 154 ln|2x + 3| + C1
Vamos simplificar e integrar cada termo separadamente.
Primeiro, simplificando a segunda fração:
4x^2 - 6x + 9 = 4(x^2 - 32x) + 9 = 4(x - 34)^2 + 274
Agora, a integral fica:
integral -2x + 627(4x^2 - 6x + 9) , dx = -227 cdot 14 ln|4x^2 - 6x + 9| + C2 = -154 ln|4x^2 - 6x + 9| + C2
Integrando cada termo:
  1. Para :
  1. Para :
Completa o quadrado no denominador:
E ajusta o numerador para se adequar à derivada do denominador:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
integral 18x^3+27 , dx = 154 ln|2x + 3| - 154 ln|4x^2 - 6x + 9| + C
Onde é a constante de integração.

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