Mostre que essa equação é equivalente a
(x^2 + y^2)^2 = 2a^2(x^2 - y^2)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas equações e precisamos mostrar que elas são equivalentes, ou seja, que representam a mesma curva. A equação que queremos chegar é:
(x^2 + y^2)^2 = 2a^2(x^2 - y^2)
Para resolver isso, vamos precisar usar a conversão de coordenadas polares para cartesianas. As coordenadas polares são úteis para descrever curvas que têm simetria radial, como o famoso “lemniscato”. Vamos ver como transformar uma equação em coordenadas polares para a forma cartesiana dada acima.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como converter de coordenadas polares (r, θ) para cartesianas (x, y). As relações são:
Também sabemos que:
Essas fórmulas serão úteis para substituir r e theta na nossa equação polar.

Passo 3

Suponha que a equação original em coordenadas polares seja:
Queremos transformar essa equação para coordenadas cartesianas. Vamos começar usando a identidade trigonométrica para :
Substituindo na equação:

Passo 4

Agora, vamos expressar e em termos de x e y. Sabemos que:
Então:
Substituindo esses valores na equação:

Passo 5

Vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por r^2 para eliminar os denominadores:
O que resulta em:

Passo 6

Lembrando que , podemos substituir por :

Resposta

Assim, mostramos que a equação polar é equivalente à equação cartesiana:
(x^2 + y^2)^2 = 2a^2(x^2 - y^2)

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