Mostre que essa equação é equivalente a
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas equações e precisamos mostrar que elas são equivalentes, ou seja, que representam a mesma curva. A equação que queremos chegar é:
Para resolver isso, vamos precisar usar a conversão de coordenadas polares para cartesianas. As coordenadas polares são úteis para descrever curvas que têm simetria radial, como o famoso “lemniscato”. Vamos ver como transformar uma equação em coordenadas polares para a forma cartesiana dada acima.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como converter de coordenadas polares
para cartesianas
. As relações são:
Também sabemos que:
Essas fórmulas serão úteis para substituir
e
na nossa equação polar.
Passo 3
Suponha que a equação original em coordenadas polares seja:
Queremos transformar essa equação para coordenadas cartesianas. Vamos começar usando a identidade trigonométrica para
:
Substituindo na equação:
Passo 4
Agora, vamos expressar
e
em termos de
e
. Sabemos que:
Então:
Substituindo esses valores na equação:
Passo 5
Vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
O que resulta em:
Passo 6
Lembrando que
, podemos substituir
por
:
Resposta
Assim, mostramos que a equação polar
é equivalente à equação cartesiana: