Decomponha os quocientes em frações parciais (x-1)/(x(x+1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é decompor a fração (x-1)/(x(x+1)) em frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de frações parciais na Álgebra. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar uma fração complicada em frações mais simples que a gente consegue trabalhar melhor.

Passo 2

Primeiro, olhamos para o denominador da fração original: . Vemos que ele já está fatorado em dois termos lineares: x e x + 1. Isso facilita porque sabemos que cada fator no denominador vai corresponder a uma fração parcial.

Passo 3

Agora, a ideia é escrever a fração original como a soma de duas frações menores, cada uma com um dos fatores do denominador. Vamos chamar essas frações de e , onde A e B são constantes que precisamos encontrar.
Então, temos:

Passo 4

Para descobrir os valores de A e B, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por :

Passo 5

Agora, vamos expandir e organizar os termos:

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de x, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  • Da segunda equação, já sabemos que .
  • Substituindo A na primeira equação:

Resposta

Então, a decomposição em frações parciais da fração original é:

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