(2 pontos) Calcule integralC z^3+1z^2, em que C=z| | z mid=1 está orientado no sentido antihorário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma função complexa ao longo de um caminho específico. Mais detalhadamente, temos que calcular:
integralC z^3+1z^2 , dz
onde é o círculo unitário orientado no sentido anti-horário. Vamos utilizar conceitos de Análise Complexa, especialmente o Teorema dos Resíduos, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função integranda:
z^3+1z^2 = z + 1z^2
Então, a integral fica:
integralC (z + 1z^2) dz

Passo 3

Agora, precisamos identificar as singularidades da função dentro do caminho . As singularidades ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, quando . Como é o círculo unitário e , o ponto está dentro de .

Passo 4

Para aplicar o Teorema dos Resíduos, precisamos calcular o resíduo da função no ponto f(z) = z + 1z^2 . A função pode ser escrita como:
O resíduo é o coeficiente de na expansão em série de Laurent de em torno de . Observando a função, vemos que:
  • A parte não contribui para o resíduo.
  • A parte não tem termo de , então seu resíduo é 0.
Portanto, o resíduo de em é 0.

Passo 5

Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de uma função ao longo de um caminho fechado é integralC f(z) , dz = 2pi i times (Resíduo em z=0) = 2pi i times 0 = 0 vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro do caminho. No nosso caso:
í

Resposta

A integral vale .

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