(2 pontos) Calcule
, em que
está orientado no sentido antihorário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma função complexa ao longo de um caminho específico. Mais detalhadamente, temos que calcular:
onde
é o círculo unitário
orientado no sentido anti-horário. Vamos utilizar conceitos de Análise Complexa, especialmente o Teorema dos Resíduos, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função integranda:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, precisamos identificar as singularidades da função dentro do caminho
. As singularidades ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, quando
. Como
é o círculo unitário e
, o ponto
está dentro de
.
Passo 4
Para aplicar o Teorema dos Resíduos, precisamos calcular o resíduo da função no ponto
. A função pode ser escrita como:
O resíduo é o coeficiente de
na expansão em série de Laurent de
em torno de
. Observando a função, vemos que:
- A parte
não contribui para o resíduo. - A parte
não tem termo de , então seu resíduo é 0.
Portanto, o resíduo de
em
é 0.
Passo 5
Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de uma função ao longo de um caminho fechado é
vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro do caminho. No nosso caso:
Resposta
A integral vale
.